线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次，且总出现次数有限制）

我将为您详细讲解这个线性动态规划问题。这是一个在经典最长公共子序列（LCS）基础上增加了多个约束条件的变种问题。

问题描述

给定两个字符串s和t，以及以下限制条件：

1. 某些特定字符在公共子序列中必须连续出现至少k次
2. 每个字符在公共子序列中的总出现次数不能超过给定的限制

我们需要找到满足这些条件的最长公共子序列的长度。

示例：

s = "aabbcc", t = "abcabc"
限制：
- 字符'a'必须连续出现至少2次
- 字符'b'在子序列中最多出现1次
- 字符'c'无特殊限制

解题思路

这个问题需要在经典LCS的动态规划基础上，增加状态来跟踪各种约束条件的满足情况。

状态定义

我们定义dp[i][j][cnt_a][cnt_b][last_char][consecutive]：

• i: 在字符串s中考虑前i个字符
• j: 在字符串t中考虑前j个字符
• cnt_a: 字符'a'在当前子序列中的出现次数
• cnt_b: 字符'b'在当前子序列中的出现次数
• last_char: 上一个选择的字符（0表示空，1表示'a'，2表示'b'，3表示'c'）
• consecutive: 当前字符连续出现的次数

状态转移方程

1. 不选择当前字符：
   dp[i][j][cnt_a][cnt_b][last_char][consecutive] = max(
   dp[i-1][j][cnt_a][cnt_b][last_char][consecutive],
   dp[i][j-1][cnt_a][cnt_b][last_char][consecutive]
   )

2. 当s[i] == t[j]时，选择当前字符：
   如果当前字符与上一个字符相同：

   • 新的连续次数 = consecutive + 1
   • 检查是否满足连续出现限制

   如果当前字符与上一个字符不同：

   • 新的连续次数 = 1
   • 检查上一个字符是否满足连续出现限制

   同时更新对应字符的计数，并检查是否超过总次数限制。

详细解题步骤

步骤1：初始化状态数组

# 假设字符串长度分别为n和m
# 字符计数上限为max_cnt
dp = 一个(n+1)×(m+1)×(max_cnt+1)×(max_cnt+1)×4×(k+1)的数组，初始化为-∞
dp[0][0][0][0][0][0] = 0  # 空子序列

步骤2：处理边界情况

• 当i=0或j=0时，表示有一个字符串为空，此时子序列长度只能为0
• 但需要根据last_char和consecutive来检查是否满足连续出现限制

步骤3：状态转移实现

对于每个i从0到n，j从0到m，遍历所有可能的计数和状态组合：

for i in range(n+1):
    for j in range(m+1):
        for cnt_a in range(max_cnt+1):
            for cnt_b in range(max_cnt+1):
                for last in range(4):
                    for cons in range(k+1):
                        # 跳过无效状态
                        if dp[i][j][cnt_a][cnt_b][last][cons] == -∞:
                            continue
                        
                        current = dp[i][j][cnt_a][cnt_b][last][cons]
                        
                        # 情况1：不选s[i]（如果i<n）
                        if i < n:
                            # 状态转移...
                        
                        # 情况2：不选t[j]（如果j<m）  
                        if j < m:
                            # 状态转移...
                        
                        # 情况3：选择s[i]和t[j]（如果它们相等且i<n且j<m）
                        if i < n and j < m and s[i] == t[j]:
                            char = s[i]
                            new_cnt_a, new_cnt_b = cnt_a, cnt_b
                            
                            # 更新字符计数
                            if char == 'a':
                                if new_cnt_a >= max_cnt: continue
                                new_cnt_a += 1
                            elif char == 'b':  
                                if new_cnt_b >= max_cnt: continue
                                new_cnt_b += 1
                            
                            # 处理连续出现
                            if last == char_to_int(char):
                                new_cons = cons + 1
                                # 检查是否超过最大连续限制
                                if new_cons > k: continue
                            else:
                                # 字符变化，检查上一个字符是否满足最小连续要求
                                if last != 0 and last == 1 and cons < required_consecutive['a']:
                                    continue
                                new_cons = 1
                            
                            new_last = char_to_int(char)
                            dp[i+1][j+1][new_cnt_a][new_cnt_b][new_last][new_cons] = max(
                                dp[i+1][j+1][new_cnt_a][new_cnt_b][new_last][new_cons],
                                current + 1
                            )

步骤4：结果提取

最终结果是所有有效状态中的最大值，特别要注意：

• 检查最后一个字符是否满足最小连续出现要求
• 检查所有字符计数是否在限制范围内

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n×m×C²×4×k)，其中C是最大字符计数
• 空间复杂度：O(n×m×C²×4×k)

优化技巧

1. 状态压缩：对于不需要特殊限制的字符，可以省略其计数维度
2. 滚动数组：由于状态转移只依赖于前一行和前一列，可以使用滚动数组优化空间
3. 提前剪枝：当字符计数超过限制时立即跳过

总结

这个问题的核心在于如何在经典LCS的基础上，通过增加状态维度来跟踪各种约束条件。关键在于：

• 准确理解每个约束条件的含义
• 合理设计状态表示
• 正确处理状态转移时的各种边界情况

通过这种扩展的状态设计，我们能够解决带有复杂约束条件的最长公共子序列问题。