Jacobi旋转法在对称矩阵特征值计算中的应用

我将为您详细讲解Jacobi旋转法在对称矩阵特征值计算中的原理和实现过程。

问题描述
给定一个n阶实对称矩阵A，我们需要计算A的所有特征值和特征向量。Jacobi旋转法通过一系列正交相似变换，逐步将对称矩阵对角化，从而得到特征值和特征向量。

算法原理

1. 基本思想
   Jacobi方法的核心思想是通过一系列平面旋转（Givens旋转）逐步消去矩阵的非对角线元素。每次旋转消去一个非对角线元素，经过足够多次旋转后，矩阵趋近于对角矩阵。

2. 数学基础

• 对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q使得QᵀAQ = Λ，其中Λ是对角矩阵
• 每个Jacobi旋转都是一个正交变换：A' = Jᵀ(p,q,θ)AJ(p,q,θ)
• 旋转矩阵J(p,q,θ)在(p,p)、(q,q)位置为cosθ，在(p,q)位置为-sinθ，在(q,p)位置为sinθ，其余位置与单位矩阵相同

详细计算步骤

步骤1：寻找最大非对角线元素
在每次迭代中，首先寻找非对角线元素中绝对值最大的元素aₚ₍ₖ₎₍ₖ₎：

• 遍历所有i < j，找到满足|aᵢⱼ| = max{|aₘₙ|, m < n}的元素
• 记录其位置(p,q)

步骤2：计算旋转角度θ
设当前最大非对角线元素为aₚ₍ₖ₎₍ₖ₎，计算旋转角度：

• 如果aₚₚ = aₖₖ，则θ = π/4
• 否则，计算：
  φ = (aₖₖ - aₚₚ)/(2aₚₖ)
  t = sign(φ)/(|φ| + √(1 + φ²))
  cosθ = 1/√(1 + t²)
  sinθ = t·cosθ

步骤3：构造旋转矩阵Jₖ
构造2×2的旋转子矩阵：

[ cosθ  sinθ ]
[-sinθ  cosθ ]

将其嵌入到n×n单位矩阵的(p,p)、(p,q)、(q,p)、(q,q)位置。

步骤4：执行相似变换
更新矩阵A：Aₖ₊₁ = JₖᵀAₖJₖ
这个变换只影响第p行、第q行和第p列、第q列的元素：

• a'ₚₚ = aₚₚcos²θ - 2aₚₖcosθsinθ + aₖₖsin²θ
• a'ₖₖ = aₚₚsin²θ + 2aₚₖcosθsinθ + aₖₖcos²θ
• a'ₚₖ = a'ₖₚ = (aₚₚ - aₖₖ)cosθsinθ + aₚₖ(cos²θ - sin²θ)
• 对于i ≠ p,q：a'ᵢₚ = aᵢₚcosθ - aᵢₖsinθ
• 对于i ≠ p,q：a'ᵢₖ = aᵢₚsinθ + aᵢₖcosθ

步骤5：累积特征向量矩阵
如果还需要特征向量，同时更新特征向量矩阵V：
Vₖ₊₁ = VₖJₖ
即对于所有i：

• v'ᵢₚ = vᵢₚcosθ - vᵢₖsinθ
• v'ᵢₖ = vᵢₚsinθ + vᵢₖcosθ

步骤6：收敛判断
重复步骤1-5，直到所有非对角线元素的绝对值都小于给定的容差ε，或者达到最大迭代次数。

算法特点

• 每次迭代将最大的非对角线元素化为零
• 由于正交相似变换保持特征值不变
• 算法稳定，但收敛相对较慢（渐进二次收敛）
• 特别适合中小规模稠密对称矩阵的特征值计算

实际应用考虑

• 设置最大迭代次数防止无限循环
• 使用阈值判断收敛，通常取ε = n·ε_machine·‖A‖_F
• 可以优化为循环Jacobi方法，按固定顺序消去非对角线元素

通过这个过程，原始对称矩阵被逐步对角化，最终的对角元素就是特征值，累积的旋转矩阵的列就是对应的特征向量。