自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的误差传播分析 题目描述 考虑计算积分： \[ I = \int_ {0}^{1} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx \] 其中 \(\varepsilon > 0\) 是一个小参数（例如 \(\varepsilon = 0.01\)），被积函数在 \(x = 0\) 附近存在边界层（函数值剧烈变化）。要求使用自适应高斯-克朗罗德积分法计算该积分，并分析误差在边界层区域的传播特性及控制策略。 解题过程 问题特性分析 被积函数 \(f(x) = e^{-x/\varepsilon} \cos(x)\) 在 \(x=0\) 附近变化剧烈（边界层厚度约 \(O(\varepsilon)\)），而在 \(x \gg \varepsilon\) 的区域平缓衰减。 直接使用均匀分段积分会导致边界层区域采样不足，而非边界层区域计算冗余。 高斯-克朗罗德积分法结合了高斯求积的高精度和嵌套节点设计的误差估计能力，适合通过自适应细分处理边界层。 高斯-克朗罗德积分法简介 在区间 \([ a,b]\) 上，使用 \(n\) 点高斯求积公式计算近似值 \(G_ n\)，同时用 \(2n+1\) 点克朗罗德公式计算 \(K_ {2n+1}\)。 误差估计：\(E = |G_ n - K_ {2n+1}|\)。若 \(E > \text{tol}\)，则分割区间并递归处理。 常用 \(G_ 7\) 和 \(K_ {15}\) 组合（即 7 点高斯公式与 15 点克朗罗德公式）。 自适应策略在边界层积分的应用 初始分割 ：将 \([ 0,1]\) 分为若干子区间，或在边界层区域（如 \([ 0, k\varepsilon ]\)，\(k=3\sim5\)）预分割。 误差估计与细分 ： 在每个子区间上计算 \(G_ 7\) 和 \(K_ {15}\)，若误差 \(E > \text{tol} \cdot (b-a)\)，则标记该区间需细分。 边界层区域因函数高阶导数大，误差估计值显著，触发频繁细分。 终止条件 ：所有子区间满足误差要求，或递归深度达到上限。 误差传播分析 边界层贡献 ：积分主要贡献来自 \(x \in [ 0, O(\varepsilon) ]\)，该区域细分产生的区间数量占主导。 误差传播机制 ： 若边界层区间误差未控制，会通过递归传播至整体积分误差。 高斯-克朗罗德公式的误差估计在边界层可能因高阶导数放大而偏保守，导致过度细分。 全局误差 ：自适应过程将误差均匀分布到各区间，但边界层区间因长度短、误差容限小，实际计算量集中。 数值实验与参数选择 设置 \(\varepsilon=0.01\)，绝对容差 \(\text{tol}=10^{-6}\)。 观察发现：边界层区域（如 \([ 0,0.03 ]\)）被细分为数十个子区间，而平缓区域仅少量区间。 调整策略：若边界层区间误差持续超标，可局部提升节点数（如改用 \(G_ {15}\)-\(K_ {31}\)）替代无限细分。 优化与总结 变量替换 ：令 \(t = x/\varepsilon\) 将边界层拉伸至 \([ 0, 1/\varepsilon ]\)，再用自适应高斯-克朗罗德法，可减少区间数量。 误差控制 ：结合相对容差与绝对容差，避免边界层区间因绝对误差小而过细分。 该方法通过自适应细分局部加密，有效平衡边界层与非边界层的计算资源分配，确保全局误差可控。 通过以上步骤，自适应高斯-克朗罗德积分法在边界层函数积分中实现了高精度计算，并通过误差传播分析指导了参数选择与策略优化。