GMAC（Galois消息认证码）算法的构造与认证过程

我将为您详细讲解GMAC算法的构造原理和认证过程。GMAC是基于GCM（Galois/Counter Mode）的消息认证码算法，广泛应用于现代密码学中。

算法概述

GMAC是GCM模式的认证部分，专门用于提供数据完整性和认证服务。它基于Galois域上的乘法运算，具有并行计算和高效率的特点。

核心数学基础

Galois域GF(2¹²⁸)

• GMAC在GF(2¹²⁸)上运算，域大小为2¹²⁸
• 不可约多项式：\(x^{128} + x^7 + x^2 + x + 1\)
• 每个元素可表示为128位二进制向量

GHASH函数
GHASH是GMAC的核心组件，定义为：
\(GHASH(H, A, C) = \sum_{i=1}^m X_i \cdot H^{m+1-i}\)
其中：

• H：认证密钥（128位）
• A：附加认证数据
• C：密文
• \(X_i\)：数据块
• m：总块数

GMAC构造过程

步骤1：密钥派生

1. 从分组密码（如AES）派生认证密钥H
2. 使用全零明文加密得到：\(H = E_K(0^{128})\)
3. H作为GHASH的乘数

步骤2：数据分组处理

1. 将附加认证数据A和密文C分别划分为128位块
2. 对不足128位的块进行填充
3. 计算数据块总数：len(A) + len(C) + len(len(A)) + len(len(C)))

步骤3：初始值设置

1. 生成初始认证标签T₀ = 0
2. 定义块序列：\(S = A || C || len(A) || len(C)\)
3. len(A)和len(C)分别是64位长度值

步骤4：GHASH计算
对于i从1到m：
\(T_i = (T_{i-1} \oplus X_i) \cdot H\)
其中：

• \(X_i\)是第i个数据块
• \(\cdot\)表示GF(2¹²⁸)上的乘法
• \(\oplus\)表示异或运算

完整GMAC计算流程

输入参数：

• K：加密密钥
• IV：初始化向量（96位推荐）
• A：附加认证数据
• C：密文

计算步骤：

1. 生成J0（初始计数器）

   • 如果len(IV) = 96位：\(J_0 = IV || 0^{31} || 1\)
   • 否则：\(J_0 = GHASH(H, \{\}, IV)\)

2. 计算认证标签

   T = GHASH(H, A, C) ⊕ E_K(J_0)
   

   具体展开：

   • 计算 \(S = GHASH(H, A, C)\)
   • 加密 \(M = E_K(J_0)\)
   • 最终标签 \(T = S ⊕ M\)

实例演示

假设：

• H = 0x1234567890ABCDEF...（128位）
• A = "AuthData"（填充到128位）
• C = "CipherText"（填充到128位）
• J₀ = 0x000000000000000000000001

计算过程：

1. 分组数据：

   • X₁ = A的128位表示
   • X₂ = C的128位表示
   • X₃ = len(A) || len(C)

2. 迭代GHASH：

   T₁ = (0 ⊕ X₁) · H
   T₂ = (T₁ ⊕ X₂) · H
   T₃ = (T₂ ⊕ X₃) · H
   

3. 最终认证：

   T = T₃ ⊕ E_K(J₀)
   

安全性分析

安全性基础：

• 基于GHASH的通用哈希特性
• 依赖底层分组密码的安全性
• 认证标签长度通常为128位

安全注意事项：

1. IV不能重复使用
2. 认证标签长度应足够（推荐128位）
3. 密钥需要定期更换

性能优化

并行计算：
由于GHASH满足结合律，可以并行计算：
\(GHASH(H, X_1 || X_2 || ... || X_m) = (((X_1 · H ⊕ X_2) · H ⊕ ... ) · H ⊕ X_m) · H\)

硬件实现：
利用GF(2¹²⁸)乘法的硬件加速，大幅提升计算效率。

GMAC因其高效性和安全性，在TLS、IPSec等协议中得到了广泛应用。