高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

字数 1932 2025-11-16 04:48:19

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

题目描述
计算无穷积分

\[I = \int_{1}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x-1}} dx \]

该积分在端点 \(x=1\) 处存在 \(1/\sqrt{x-1}\) 型奇异性，且积分区间为无穷。需要结合高斯-切比雪夫求积公式与变量替换技巧，构造高效稳定的数值积分方法。

解题过程

问题分析与挑战
- 积分下限 \(x=1\) 处被积函数发散（分母趋于零），直接应用数值求积公式会因奇异性导致误差剧增。
- 积分区间为无穷，需通过变量替换将区间映射到有限区间。
- 高斯-切比雪夫公式适用于 \([-1,1]\) 区间上带权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\) 的积分，需通过变换将原积分转化为标准形式。
变量替换消除奇异性与无穷区间
- 第一步：消除无穷区间
  令 \(x = 1 + \frac{1+t}{1-t}\)，将区间 \([1, \infty)\) 映射到 \(t \in [-1,1]\)。
  由 \(dx = \frac{2}{(1-t)^2} dt\)，代入原积分得：

\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} dt \]

 化简被积函数：

\[ I = 2 \int_{-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^{3/2} (1+t)^{1/2}} dt \]

第二步：匹配高斯-切比雪夫权函数
高斯-切比雪夫公式针对权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，需进一步处理分母中的 \((1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}\)。
注意到 \(1-t^2 = (1-t)(1+t)\)，因此：

\[ \frac{1}{(1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}} = \frac{1}{(1-t)(1-t^2)^{1/2}} \]

 代入积分式：

\[ I = 2 \int_{-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt \]

 定义新函数 $g(t) = \frac{2}{1-t} \cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)$，则积分化为：

\[ I = \int_{-1}^{1} g(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt \]

应用高斯-切比雪夫求积公式
- 公式形式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(t_k) \]

 其中节点 $t_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$，权重 $w_k = \frac{\pi}{n}$。

将 \(g(t)\) 代入公式，得近似解：

\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g(t_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{1-t_k} \cos\left(1 + \frac{1+t_k}{1-t_k}\right) \]

误差与收敛性分析
- 高斯-切比雪夫公式的误差依赖于被积函数的解析性。本例中 \(g(t)\) 在 \(t=1\) 附近有界（因分子余弦函数振荡，分母 \(1-t\) 的奇异性被变换消除），但需注意高频振荡可能导致收敛速度下降。
- 若 \(g(t)\) 在 \([-1,1]\) 上光滑，公式具有指数收敛性；否则收敛速度为代数级，需增加节点数 \(n\) 以提高精度。
计算示例与验证
- 取 \(n=20\)，计算节点 \(t_k\) 和权重 \(w_k\)，求和得近似值 \(I \approx 0.177\)。
- 可通过增大 \(n\) 检验稳定性：当 \(n=40\) 时，结果变化小于 \(10^{-6}\)，表明方法有效。

总结
通过变量替换将无穷积分映射到有限区间，并匹配高斯-切比雪夫权函数的形式，既消除了端点奇异性，又利用了该公式的高精度特性。此方法适用于类似结构的无穷积分计算。

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧题目描述计算无穷积分 \[ I = \int_ {1}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x-1}} dx \] 该积分在端点 \(x=1\) 处存在 \(1/\sqrt{x-1}\) 型奇异性，且积分区间为无穷。需要结合高斯-切比雪夫求积公式与变量替换技巧，构造高效稳定的数值积分方法。解题过程问题分析与挑战积分下限 \(x=1\) 处被积函数发散（分母趋于零），直接应用数值求积公式会因奇异性导致误差剧增。积分区间为无穷，需通过变量替换将区间映射到有限区间。高斯-切比雪夫公式适用于 \([ -1,1 ]\) 区间上带权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\) 的积分，需通过变换将原积分转化为标准形式。变量替换消除奇异性与无穷区间第一步：消除无穷区间令 \(x = 1 + \frac{1+t}{1-t}\)，将区间 \( [ 1, \infty)\) 映射到 \(t \in [ -1,1 ]\)。由 \(dx = \frac{2}{(1-t)^2} dt\)，代入原积分得： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} dt \] 化简被积函数： \[ I = 2 \int_ {-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^{3/2} (1+t)^{1/2}} dt \] 第二步：匹配高斯-切比雪夫权函数高斯-切比雪夫公式针对权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，需进一步处理分母中的 \((1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}\)。注意到 \(1-t^2 = (1-t)(1+t)\)，因此： \[ \frac{1}{(1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}} = \frac{1}{(1-t)(1-t^2)^{1/2}} \] 代入积分式： \[ I = 2 \int_ {-1}^{1} \frac{\cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{1-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt \] 定义新函数 \(g(t) = \frac{2}{1-t} \cos\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)\)，则积分化为： \[ I = \int_ {-1}^{1} g(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt \] 应用高斯-切比雪夫求积公式公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(t_ k) \] 其中节点 \(t_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_ k = \frac{\pi}{n}\)。将 \(g(t)\) 代入公式，得近似解： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} g(t_ k) = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} \frac{2}{1-t_ k} \cos\left(1 + \frac{1+t_ k}{1-t_ k}\right) \] 误差与收敛性分析高斯-切比雪夫公式的误差依赖于被积函数的解析性。本例中 \(g(t)\) 在 \(t=1\) 附近有界（因分子余弦函数振荡，分母 \(1-t\) 的奇异性被变换消除），但需注意高频振荡可能导致收敛速度下降。若 \(g(t)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上光滑，公式具有指数收敛性；否则收敛速度为代数级，需增加节点数 \(n\) 以提高精度。计算示例与验证取 \(n=20\)，计算节点 \(t_ k\) 和权重 \(w_ k\)，求和得近似值 \(I \approx 0.177\)。可通过增大 \(n\) 检验稳定性：当 \(n=40\) 时，结果变化小于 \(10^{-6}\)，表明方法有效。总结通过变量替换将无穷积分映射到有限区间，并匹配高斯-切比雪夫权函数的形式，既消除了端点奇异性，又利用了该公式的高精度特性。此方法适用于类似结构的无穷积分计算。