高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(kx)}{\sqrt{1-x^2}} e^{-x^2} \, dx \]
其中 \(k\) 是振荡频率参数。该积分结合了振荡函数 \(\cos(kx)\)、指数衰减因子 \(e^{-x^2}\) 和切比雪夫权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性。直接应用高斯-切比雪夫求积公式可能因振荡和衰减的耦合导致精度不足，需通过正则化变换简化被积函数结构。
解题步骤
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问题分析与挑战
- 权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处奇异，但高斯-切比雪夫公式的节点（切比雪夫多项式的零点）和权重可天然处理此类奇异性。
- 振荡项 \(\cos(kx)\) 与衰减项 \(e^{-x^2}\) 的耦合会增大积分误差，尤其当 \(k\) 较大时，振荡导致被积函数符号频繁变化，需要更多节点才能捕捉细节。
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正则化变换引入
目标是通过变量替换分离振荡和衰减效应。令：
\[ x = \cos \theta, \quad dx = -\sin \theta \, d\theta \]
积分区间 \(x \in [-1, 1]\) 变为 \(\theta \in [0, \pi]\)。代入原积分：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(k \cos \theta) e^{-\cos^2 \theta} \, d\theta \]
此变换消去了权函数的奇异性（因 \(\sqrt{1-x^2} = \sin \theta\) 与 \(dx\) 中的 \(\sin \theta\) 抵消），被积函数简化为 \(\cos(k \cos \theta) e^{-\cos^2 \theta}\)。
- 高斯-切比雪夫公式的直接应用
标准高斯-切比雪夫求积公式为：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2i-1)\pi}{2n} \right) \]
其中节点 \(x_i = \cos \frac{(2i-1)\pi}{2n}\) 对应 \(\theta_i = \frac{(2i-1)\pi}{2n}\)。
对变换后的积分，直接取 \(f(x) = \cos(kx) e^{-x^2}\)，则：
\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \cos(k x_i) e^{-x_i^2} \]
但此方法在 \(k\) 较大时仍需大量节点，计算成本高。
- 振荡函数的进一步处理
利用贝塞尔函数恒等式：
\[ \cos(k \cos \theta) = J_0(k) + 2 \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m J_{2m}(k) \cos(2m \theta) \]
其中 \(J_m\) 是第 \(m\) 阶贝塞尔函数。代入变换后的积分：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \left[ J_0(k) + 2 \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m J_{2m}(k) \cos(2m \theta) \right] e^{-\cos^2 \theta} \, d\theta \]
通过截断级数（例如取前 \(M\) 项），将积分分解为 \(J_0(k) \int_{0}^{\pi} e^{-\cos^2 \theta} \, d\theta\) 与若干 \(\cos(2m \theta) e^{-\cos^2 \theta}\) 的积分组合。每个子积分可用低阶高斯-切比雪夫公式计算（因 \(\cos(2m \theta)\) 的振荡被显式处理）。
- 数值实现与误差控制
- 对截断后的积分，采用 \(n\) 点高斯-切比雪夫公式计算，其中 \(n\) 根据衰减项 \(e^{-\cos^2 \theta}\) 的光滑性选择（通常 \(n \propto k\) 以保证精度）。
- 误差来源包括级数截断误差（与 \(M\) 相关）和求积公式误差。通过增加 \(M\) 和 \(n\) 可使总误差低于指定阈值。
总结
通过正则化变换 \(x = \cos \theta\) 消除权函数奇异性，并利用贝塞尔函数展开显式处理振荡部分，最终将原积分转化为光滑函数的线性组合，再用高斯-切比雪夫公式高效计算。此方法显著减少了直接应用求积公式所需的节点数，特别适合高频振荡问题。