高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧
字数 2349 2025-11-16 02:47:27

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算定积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性，而 \(f(x)\) 是区间 \([-1,1]\) 上的光滑函数。要求通过权函数匹配技巧，将积分转化为适合高斯-勒让德求积公式计算的形式，并说明具体步骤与计算要点。

解题过程

  1. 问题分析与奇异性处理
    原积分包含权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，这与第一类切比雪夫多项式的权函数一致。直接应用高斯-切比雪夫求积公式是一种标准解法，但题目要求使用高斯-勒让德求积公式。因此需要消除权函数的奇异性，通过变量替换将积分转化为标准形式：

\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta d\theta\)，积分限变为 \(\theta\) 从 \(\pi\) 到 \(0\)。代入后：

\[ I = \int_{\pi}^{0} \frac{f(\cos\theta)}{\sin\theta} (-\sin\theta) d\theta = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) d\theta \]

此时奇异性被消除，积分转化为在 \([0,\pi]\) 上对 \(f(\cos\theta)\) 的普通积分。

  1. 应用高斯-勒让德求积公式
    高斯-勒让德公式适用于区间 \([-1,1]\)，因此需将 \(\theta \in [0,\pi]\) 映射到 \(t \in [-1,1]\)。令：

\[ \theta = \frac{\pi}{2}(t + 1) \]

则 \(d\theta = \frac{\pi}{2} dt\)，积分变为：

\[ I = \int_{-1}^{1} f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right) \cdot \frac{\pi}{2} dt \]

定义新函数 \(g(t) = \frac{\pi}{2} f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right)\)，则：

\[ I = \int_{-1}^{1} g(t) dt \]

此形式可直接应用 \(n\) 点高斯-勒让德求积公式：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i) \]

其中 \(t_i\) 和 \(w_i\) 是勒让德多项式的节点和权重。

  1. 计算步骤与示例
    • 步骤1：选择节点数 \(n\)，查表或计算得到 \(t_i\) 和 \(w_i\)。
    • 步骤2：对每个 \(t_i\)，计算 \(\theta_i = \frac{\pi}{2}(t_i + 1)\)，再计算 \(x_i = \cos\theta_i\)。
    • 步骤3：计算 \(f(x_i)\)，进而得到 \(g(t_i) = \frac{\pi}{2} f(x_i)\)。
    • 步骤4：加权求和 \(\sum w_i g(t_i)\) 作为积分近似值。
      示例：设 \(f(x) = x^2\)，则：

\[ g(t) = \frac{\pi}{2} \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right]^2 \]

使用 \(n=2\) 的高斯-勒让德公式（节点 \(t_i = \pm 1/\sqrt{3}\)，权重 \(w_i = 1\)）：

  • 对 \(t_1 = -1/\sqrt{3}\)，\(\theta_1 \approx 0.675\) ，\(x_1 = \cos\theta_1 \approx 0.780\)，\(g(t_1) \approx 0.955\)
  • 对 \(t_2 = 1/\sqrt{3}\)，\(\theta_2 \approx 2.466\)，\(x_2 = \cos\theta_2 \approx -0.780\)，\(g(t_2) \approx 0.955\)
    积分近似值 \(I \approx 1 \times 0.955 + 1 \times 0.955 = 1.910\)，与精确值 \(\pi \approx 3.142\) 相比误差较大，需增加节点数以提高精度。
  1. 误差与优化建议
    • 误差主要来自高斯-勒让德公式的截断误差，与 \(f(\cos\theta)\) 的光滑性相关。若 \(f(x)\) 足够光滑，误差随 \(n\) 增加指数下降。
    • 若 \(f(x)\) 在端点附近变化剧烈，可增加节点数或采用分段高斯求积。
    • 实际计算中，需注意 \(\cos(\pi(t+1)/2)\) 在 \(t=\pm 1\) 处的计算稳定性。

总结
通过变量替换 \(x = \cos\theta\) 和区间映射，将带端点奇异性的积分转化为标准形式，从而应用高斯-勒让德求积公式。该方法避免了直接处理奇异性，并通过函数变换保持计算精度。

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \] 其中被积函数在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的奇异性，而 \( f(x) \) 是区间 \([ -1,1 ]\) 上的光滑函数。要求通过权函数匹配技巧，将积分转化为适合高斯-勒让德求积公式计算的形式，并说明具体步骤与计算要点。 解题过程 问题分析与奇异性处理 原积分包含权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \)，这与第一类切比雪夫多项式的权函数一致。直接应用高斯-切比雪夫求积公式是一种标准解法，但题目要求使用高斯-勒让德求积公式。因此需要消除权函数的奇异性，通过变量替换将积分转化为标准形式： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \] 令 \( x = \cos\theta \)，则 \( dx = -\sin\theta d\theta \)，积分限变为 \( \theta \) 从 \( \pi \) 到 \( 0 \)。代入后： \[ I = \int_ {\pi}^{0} \frac{f(\cos\theta)}{\sin\theta} (-\sin\theta) d\theta = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) d\theta \] 此时奇异性被消除，积分转化为在 \([ 0,\pi ]\) 上对 \( f(\cos\theta) \) 的普通积分。 应用高斯-勒让德求积公式 高斯-勒让德公式适用于区间 \([ -1,1]\)，因此需将 \( \theta \in [ 0,\pi] \) 映射到 \( t \in [ -1,1 ] \)。令： \[ \theta = \frac{\pi}{2}(t + 1) \] 则 \( d\theta = \frac{\pi}{2} dt \)，积分变为： \[ I = \int_ {-1}^{1} f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right) \cdot \frac{\pi}{2} dt \] 定义新函数 \( g(t) = \frac{\pi}{2} f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right) \)，则： \[ I = \int_ {-1}^{1} g(t) dt \] 此形式可直接应用 \( n \) 点高斯-勒让德求积公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(t_ i) \] 其中 \( t_ i \) 和 \( w_ i \) 是勒让德多项式的节点和权重。 计算步骤与示例 步骤1 ：选择节点数 \( n \)，查表或计算得到 \( t_ i \) 和 \( w_ i \)。 步骤2 ：对每个 \( t_ i \)，计算 \( \theta_ i = \frac{\pi}{2}(t_ i + 1) \)，再计算 \( x_ i = \cos\theta_ i \)。 步骤3 ：计算 \( f(x_ i) \)，进而得到 \( g(t_ i) = \frac{\pi}{2} f(x_ i) \)。 步骤4 ：加权求和 \( \sum w_ i g(t_ i) \) 作为积分近似值。 示例 ：设 \( f(x) = x^2 \)，则： \[ g(t) = \frac{\pi}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}(t + 1)\right)\right ]^2 \] 使用 \( n=2 \) 的高斯-勒让德公式（节点 \( t_ i = \pm 1/\sqrt{3} \)，权重 \( w_ i = 1 \)）： 对 \( t_ 1 = -1/\sqrt{3} \)，\( \theta_ 1 \approx 0.675 \) ，\( x_ 1 = \cos\theta_ 1 \approx 0.780 \)，\( g(t_ 1) \approx 0.955 \) 对 \( t_ 2 = 1/\sqrt{3} \)，\( \theta_ 2 \approx 2.466 \)，\( x_ 2 = \cos\theta_ 2 \approx -0.780 \)，\( g(t_ 2) \approx 0.955 \) 积分近似值 \( I \approx 1 \times 0.955 + 1 \times 0.955 = 1.910 \)，与精确值 \( \pi \approx 3.142 \) 相比误差较大，需增加节点数以提高精度。 误差与优化建议 误差主要来自高斯-勒让德公式的截断误差，与 \( f(\cos\theta) \) 的光滑性相关。若 \( f(x) \) 足够光滑，误差随 \( n \) 增加指数下降。 若 \( f(x) \) 在端点附近变化剧烈，可增加节点数或采用分段高斯求积。 实际计算中，需注意 \( \cos(\pi(t+1)/2) \) 在 \( t=\pm 1 \) 处的计算稳定性。 总结 通过变量替换 \( x = \cos\theta \) 和区间映射，将带端点奇异性的积分转化为标准形式，从而应用高斯-勒让德求积公式。该方法避免了直接处理奇异性，并通过函数变换保持计算精度。