高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的自适应区域分解技巧

问题描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（例如分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 在端点处发散），但 \(f(x)\) 在区间 \([-1,1]\) 上光滑。高斯-切比雪夫求积公式虽能直接处理权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，但若 \(f(x)\) 在端点附近变化剧烈，直接应用公式可能导致精度不足。需结合自适应区域分解技巧，在端点附近加密节点分布以提高精度。

解题步骤

1. 高斯-切比雪夫公式基础
   • 标准高斯-切比雪夫公式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k g(x_k) \]

 其中节点 $x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$，权重 $w_k = \frac{\pi}{n}$。  

• 该公式对多项式 \(g(x)\) 可达 \(2n-1\) 次代数精度，但对端点奇异函数需注意 \(g(x)\) 的光滑性。

2. 端点奇异性分析

   • 若 \(f(x)\) 在端点处无奇异性，但权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 导致积分核在端点附近变化剧烈。
   • 直接应用公式时，若 \(f(x)\) 在端点附近非线性较强，误差集中在端点邻域。

3. 自适应区域分解策略

   • 步骤1：初始区间划分
     将原区间 \([-1,1]\) 拆分为三个子区间：

\[ [-1, -1+\delta],\quad [-1+\delta, 1-\delta],\quad [1-\delta, 1] \]

 其中 $\delta > 0$ 是一个小参数（例如 $\delta = 0.1$），用于隔离端点奇异性。  

• 步骤2：子区间积分计算
  • 对中间区间 \([-1+\delta, 1-\delta]\)，直接应用高斯-切比雪夫公式（需通过变量变换调整权函数）。
  • 对端点区间 \([-1, -1+\delta]\) 和 \([1-\delta, 1]\)，进行变量替换以消除奇异性：
    例如，对右端点区间 \([1-\delta, 1]\)，令 \(t = \sqrt{1-x}\)，则：

\[ \int_{1-\delta}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{0}^{\sqrt{\delta}} \frac{2t f(1-t^2)}{\sqrt{2-t^2} \cdot t} \, dt = \int_{0}^{\sqrt{\delta}} \frac{2f(1-t^2)}{\sqrt{2-t^2}} \, dt \]

   此时被积函数在 $t=0$ 处无奇异性，可用标准高斯-勒让德公式计算。  

• 步骤3：误差估计与自适应加密
  比较不同节点数 \(n\) 和 \(2n\) 的计算结果，若误差超过阈值 \(\epsilon\)，则对端点区间进一步分解（例如将 \(\delta\) 减半），重复步骤2。

4. 变量替换与权函数匹配

   • 在端点区间通过变量替换使新被积函数光滑，例如：
     • 左端点区间 \([-1, -1+\delta]\)：令 \(t = \sqrt{1+x}\)，类似消除奇异性。
   • 若 \(f(x)\) 在端点处有零点（例如 \(f(x) \sim (1-x^2)\)），可结合权函数性质直接应用高斯-切比雪夫公式。

5. 算法实现流程

   • 输入：函数 \(f(x)\)、误差容限 \(\epsilon\)、初始 \(\delta\)。
   • 对全区间应用高斯-切比雪夫公式得 \(I_1\)。
   • 进行区域分解，计算子区间积分和 \(I_2\)。
   • 若 \(|I_1 - I_2| > \epsilon\)，缩小 \(\delta\) 并重新分解端点区间，直到满足精度要求。

总结
通过自适应区域分解，在端点附近采用变量替换消除奇异性，结合高斯-切比雪夫公式的高精度特性，有效控制端点奇异性带来的误差，提升积分计算效率与稳定性。