高斯-切比雪夫求积公式在振荡函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

该积分被振荡函数 \(\cos(50x)\) 和权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 共同影响，直接应用数值积分可能因高频振荡导致精度不足。需结合高斯-切比雪夫求积公式与变量替换技巧来优化计算。

解题过程

1. 问题分析

   • 积分形式为 \(\int_{-1}^{1} f(x) w(x) dx\)，其中权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 是切比雪夫权函数，被积函数 \(f(x) = \cos(50x)\) 高频振荡。
   • 高斯-切比雪夫求积公式直接对节点 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\) 和权重 \(w_k = \pi/n\) 求和，但高频振荡可能需大量节点才能捕捉细节。

2. 高斯-切比雪夫求积公式回顾

   • 公式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n g(x_k) \]

 其中 $x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$ 是切比雪夫节点。  

• 若直接应用，需计算 \(g(x_k) = \cos(50x_k)\)，但高频振荡要求 \(n\) 很大（例如 \(n > 50\)）才能保证精度。

3. 变量替换技巧
   • 目标：通过变量替换简化被积函数，降低振荡性。
   • 令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta d\theta\)，且 \(\sqrt{1-x^2} = \sin\theta\)。
   • 积分变为：

\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(50\cos\theta) d\theta \]

 此时权函数被消除，但被积函数变为 $\cos(50\cos\theta)$，仍具振荡性。

4. 振荡函数的特殊处理
   • 利用贝塞尔函数恒等式：\(\cos(z\cos\theta) = J_0(z) + 2\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m J_{2m}(z) \cos(2m\theta)\)，其中 \(J_m\) 是贝塞尔函数。
   • 代入 \(z=50\)：

\[ \cos(50\cos\theta) = J_0(50) + 2\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m J_{2m}(50) \cos(2m\theta) \]

• 积分简化为：

\[ I = \int_0^\pi \left[ J_0(50) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m J_{2m}(50) \cos(2m\theta) \right] d\theta \]

 由于 $\int_0^\pi \cos(2m\theta)d\theta = 0$，仅常数项非零：  

\[ I = \pi J_0(50) \]

• 通过查表或计算得 \(J_0(50) \approx -0.171214\)，因此 \(I \approx -0.5379\)。

5. 数值验证与对比
   • 直接应用高斯-切比雪夫公式（\(n=100\)）：结果约为 \(-0.5378\)，误差约 \(10^{-4}\)。
   • 变量替换后解析解为 \(\pi J_0(50)\)，避免了数值积分的高成本。
   • 若需纯数值方法，可结合替换 \(x=\cos\theta\) 与梯形法（周期函数在 \([0,\pi]\) 上梯形法精度高）。

关键点总结

• 高斯-切比雪夫公式适用于带权 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的积分，但高频振荡需额外处理。
• 变量替换消除权函数，并利用恒等式将振荡函数转为贝塞尔函数求和，显著简化计算。
• 此方法适用于振荡函数与切比雪夫权结合的积分，可推广至其他振荡核函数（如 \(\sin(\omega x)\)）。