xxx 旅行商问题（动态规划解法）

题目描述
旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是图论中最著名的问题之一。给定一系列城市和每对城市之间的距离，要求找到一条最短的可能路径，使得旅行商访问每个城市恰好一次，最后回到起点城市。这是一个NP难问题，但可以通过动态规划在较小规模下有效求解。

解题过程

1. 问题建模

• 将城市表示为顶点，城市间的距离表示为带权边，构成一个完全图
• 我们需要找到一个哈密顿回路（访问每个顶点恰好一次的环），且总权重最小

2. 动态规划状态定义
定义 dp[mask][i] 表示：

• mask：一个位掩码，表示已经访问过的城市集合
• i：当前所在的城市
• dp[mask][i]：从城市0出发，访问过mask表示的城市集合，最后到达城市i的最小代价

3. 状态转移方程
对于每个状态 (mask, i)，考虑所有可能的前一个城市 j：
dp[mask][i] = min{ dp[mask^(1<<i)][j] + dist[j][i] }
其中：

• j 是 mask 中除了 i 之外的已访问城市
• mask^(1<<i) 表示从mask中移除城市i
• dist[j][i] 是从城市j到城市i的距离

4. 初始化

• dp[1][0] = 0 （只访问了城市0，且当前在城市0，代价为0）
• 其他状态初始化为无穷大

5. 算法步骤详解

步骤1：预处理距离矩阵
假设有n个城市，编号0到n-1
构建n×n的距离矩阵dist，dist[i][j]表示城市i到城市j的距离

步骤2：初始化DP表

• 状态总数：2^n × n
• 初始化dp数组所有值为无穷大
• 设置基础情况：dp[1][0] = 0

步骤3：状态转移
按mask的大小从小到大处理（保证无后效性）：

for mask = 1 to (1<<n)-1:
    for i = 0 to n-1:
        if dp[mask][i] 不是无穷大:
            for j = 0 to n-1:
                if j不在mask中:
                    new_mask = mask | (1<<j)
                    new_cost = dp[mask][i] + dist[i][j]
                    dp[new_mask][j] = min(dp[new_mask][j], new_cost)

步骤4：计算最终结果
考虑从最后一个城市回到起点城市0：

answer = 无穷大
for i = 1 to n-1:
    answer = min(answer, dp[(1<<n)-1][i] + dist[i][0])

6. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(2^n × n²)
• 空间复杂度：O(2^n × n)

7. 实例演示
考虑4个城市的TSP，距离矩阵：

   A  B  C  D
A  0  10 15 20
B  10 0  35 25  
C  15 35 0  30
D  20 25 30 0

计算过程：

1. 初始化：dp[0001][0] = 0
2. 扩展状态，逐步构建所有可能的路径
3. 最终找到最优路径：A→B→D→C→A，总距离80

8. 优化技巧

• 使用位运算高效处理城市集合
• 对于对称TSP，可以利用对称性减少状态数
• 使用记忆化搜索可能比迭代更易实现

这种方法虽然仍是指数级的，但对于n≤20的情况是实际可行的。