最长重复子数组的变种：允许最多k次元素删除的最长公共子数组 题目描述 给定两个整数数组nums1和nums2，以及一个整数k。我们需要找到最长的公共子数组，该子数组在nums1中可以通过删除最多k个元素得到。换句话说，我们需要找到最长的连续子数组，该子数组同时出现在nums1和nums2中，但在nums1中允许最多跳过k个元素。 解题过程 这个问题是经典最长公共子数组问题的变种，增加了在第一个数组中最多跳过k个元素的灵活性。让我们通过动态规划来逐步解决。 步骤1：定义状态 我们定义dp[ i][ j][ d ]表示以nums1的第i个元素和nums2的第j个元素结尾，且已经跳过了d个元素的最长公共子数组长度。 步骤2：状态转移方程 考虑当前比较的元素nums1[ i-1]和nums2[ j-1 ]： 如果两个元素相等： 我们可以直接扩展前一个公共子数组：dp[ i][ j][ d] = dp[ i-1][ j-1][ d ] + 1 或者，如果我们选择跳过nums1中的当前元素（如果d > 0）：dp[ i][ j][ d] = dp[ i-1][ j][ d-1 ] 或者，如果我们选择跳过nums2中的当前元素：dp[ i][ j][ d] = dp[ i][ j-1][ d-1 ] 如果两个元素不相等： 我们可以跳过nums1中的当前元素（如果d > 0）：dp[ i][ j][ d] = dp[ i-1][ j][ d-1 ] 或者跳过nums2中的当前元素（如果d > 0）：dp[ i][ j][ d] = dp[ i][ j-1][ d-1 ] 或者重新开始：dp[ i][ j][ d ] = 0 步骤3：初始化 当i=0或j=0时，dp[ i][ j][ d ] = 0（没有元素可以比较） 当d=0且i,j>0时，如果nums1[ i-1] == nums2[ j-1]，则dp[ i][ j][ 0] = dp[ i-1][ j-1][ 0 ] + 1，否则为0 步骤4：计算顺序 我们按i从1到n，j从1到m，d从0到k的顺序计算dp值。 步骤5：结果提取 最终结果是所有dp[ i][ j][ d ]中的最大值。 优化思路 由于三维DP的空间复杂度较高，我们可以优化为二维DP： 定义dp[ i][ j ]表示以nums1的第i个元素和nums2的第j个元素结尾的最长公共子数组长度，同时使用一个额外的数组来记录删除次数。 实际实现 在实际实现中，我们可以使用二维DP，并通过遍历所有可能的删除次数来找到最优解。 这个算法的时间复杂度是O(n×m×k)，空间复杂度通过优化可以降低到O(m×k)。