高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的应用
字数 1698 2025-11-15 19:22:34

高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的应用

题目描述
计算核废料衰变过程中释放的总热量，其热功率密度函数为 \(P(t) = P_0 e^{-t/\tau}\)，其中 \(P_0 = 100 \ \text{W/kg}\) 为初始功率，\(\tau = 30 \ \text{年}\) 为衰变时间常数。需要计算从 \(t=0\) 到无穷时间的总热量 \(Q = \int_0^\infty P(t) dt\)。该问题可转化为高斯-拉盖尔求积公式的标准形式 \(\int_0^\infty e^{-t} f(t) dt\)。

解题过程

  1. 问题转化
    原积分为 \(Q = \int_0^\infty 100e^{-t/30} dt\)。令 \(x = t/\tau\)，则 \(t = 30x\)，\(dt = 30dx\)，积分变为：

\[ Q = 100 \times 30 \int_0^\infty e^{-x} dx = 3000 \int_0^\infty e^{-x} \cdot 1 dx \]

此时被积函数化为标准形式 \(\int_0^\infty e^{-x} f(x) dx\) 且 \(f(x) \equiv 1\)。

  1. 高斯-拉盖尔求积公式
    公式形式为：

\[ \int_0^\infty e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]

其中 \(x_i\) 是拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}\)。
当 \(f(x) \equiv 1\) 时，公式简化为 \(Q \approx 3000 \sum_{i=1}^n w_i\)。

  1. 节点与权重计算（以n=2为例）
    • 二阶拉盖尔多项式 \(L_2(x) = x^2 - 4x + 2\) 的根为：
      \(x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.5858\)，\(x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.4142\)。
    • 权重计算：
      \(w_1 = \frac{x_1}{(3 \cdot L_3(x_1))^2} \approx 0.8536\)，
      \(w_2 = \frac{x_2}{(3 \cdot L_3(x_2))^2} \approx 0.1464\)。
    • 积分近似值：

\[ Q \approx 3000 \times (0.8536 + 0.1464) = 3000 \times 1 = 3000 \]

  1. 误差分析与高精度改进

    • 解析解为 \(Q = 100 \times 30 = 3000 \ \text{J/kg}\)，n=2时结果精确。
    • 对于一般函数，可通过增加节点数n提高精度。例如n=3时：
      节点 \(x_i \in \{0.4158, 2.2943, 6.2900\}\)，权重 \(w_i \in \{0.7111, 0.2785, 0.0104\}\)，
      积分值仍为 \(3000 \times (0.7111+0.2785+0.0104) = 3000\)。

  2. 实际应用扩展
    若热功率函数包含修正项 \(P(t) = P_0 e^{-t/\tau} (1 + \sin(t))\)，则需计算：

\[ Q = 3000 \int_0^\infty e^{-x} (1 + \sin(30x)) dx \]

此时需用高斯-拉盖尔公式计算 \(\sum w_i (1 + \sin(30x_i))\)，通过增加节点数保证振荡函数的积分精度。

关键点总结

  • 通过变量替换将积分化为标准形式。
  • 高斯-拉盖尔公式通过加权求和近似无穷区间上的带权积分。
  • 对于指数衰减型被积函数，该公式具有高精度和快速收敛性。
高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的应用 题目描述 计算核废料衰变过程中释放的总热量，其热功率密度函数为 \( P(t) = P_ 0 e^{-t/\tau} \)，其中 \( P_ 0 = 100 \ \text{W/kg} \) 为初始功率，\( \tau = 30 \ \text{年} \) 为衰变时间常数。需要计算从 \( t=0 \) 到无穷时间的总热量 \( Q = \int_ 0^\infty P(t) dt \)。该问题可转化为高斯-拉盖尔求积公式的标准形式 \( \int_ 0^\infty e^{-t} f(t) dt \)。 解题过程 问题转化 原积分为 \( Q = \int_ 0^\infty 100e^{-t/30} dt \)。令 \( x = t/\tau \)，则 \( t = 30x \)，\( dt = 30dx \)，积分变为： \[ Q = 100 \times 30 \int_ 0^\infty e^{-x} dx = 3000 \int_ 0^\infty e^{-x} \cdot 1 dx \] 此时被积函数化为标准形式 \( \int_ 0^\infty e^{-x} f(x) dx \) 且 \( f(x) \equiv 1 \)。 高斯-拉盖尔求积公式 公式形式为： \[ \int_ 0^\infty e^{-x} f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，权重 \( w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2} \)。 当 \( f(x) \equiv 1 \) 时，公式简化为 \( Q \approx 3000 \sum_ {i=1}^n w_ i \)。 节点与权重计算（以n=2为例） 二阶拉盖尔多项式 \( L_ 2(x) = x^2 - 4x + 2 \) 的根为： \( x_ 1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.5858 \)，\( x_ 2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.4142 \)。 权重计算： \( w_ 1 = \frac{x_ 1}{(3 \cdot L_ 3(x_ 1))^2} \approx 0.8536 \)， \( w_ 2 = \frac{x_ 2}{(3 \cdot L_ 3(x_ 2))^2} \approx 0.1464 \)。 积分近似值： \[ Q \approx 3000 \times (0.8536 + 0.1464) = 3000 \times 1 = 3000 \] 误差分析与高精度改进 解析解为 \( Q = 100 \times 30 = 3000 \ \text{J/kg} \)，n=2时结果精确。 对于一般函数，可通过增加节点数n提高精度。例如n=3时： 节点 \( x_ i \in \{0.4158, 2.2943, 6.2900\} \)，权重 \( w_ i \in \{0.7111, 0.2785, 0.0104\} \)， 积分值仍为 \( 3000 \times (0.7111+0.2785+0.0104) = 3000 \)。 实际应用扩展 若热功率函数包含修正项 \( P(t) = P_ 0 e^{-t/\tau} (1 + \sin(t)) \)，则需计算： \[ Q = 3000 \int_ 0^\infty e^{-x} (1 + \sin(30x)) dx \] 此时需用高斯-拉盖尔公式计算 \( \sum w_ i (1 + \sin(30x_ i)) \)，通过增加节点数保证振荡函数的积分精度。 关键点总结 通过变量替换将积分化为标准形式。 高斯-拉盖尔公式通过加权求和近似无穷区间上的带权积分。 对于指数衰减型被积函数，该公式具有高精度和快速收敛性。