因子图与和积算法（Sum-Product Algorithm）的原理与消息传递过程 题目描述 因子图是一种用于表示多变量函数因子分解的二分图，由变量节点和因子节点组成。和积算法（又称置信传播算法）通过在因子图上传递消息，高效计算边缘概率分布。该算法广泛应用于编码理论、概率图模型推断等领域。 解题过程 1. 因子图构建 步骤1：定义因子图结构 因子图包含两类节点： 变量节点 （圆形）：表示随机变量或未知量 因子节点 （方形）：表示变量间的局部函数关系 边仅存在于变量节点与因子节点之间，表示变量参与该因子函数计算。 步骤2：分解联合概率分布 若多变量函数可分解为局部函数的乘积： \( p(x_ 1, x_ 2, ..., x_ n) = \prod_ {j} f_ j(X_ j) \) 其中 \( X_ j \) 是变量子集，每个 \( f_ j \) 对应一个因子节点，连接的变量节点为 \( X_ j \) 中的变量。 2. 消息传递规则 步骤3：定义消息类型 消息分为两类： 变量到因子的消息 \( \mu_ {x \to f}(x) \)：变量节点 \( x \) 向因子节点 \( f \) 传递的信念 因子到变量的消息 \( \mu_ {f \to x}(x) \)：因子节点 \( f \) 向变量节点 \( x \) 传递的信念 步骤4：计算变量到因子的消息 变量节点 \( x \) 向相邻因子节点 \( f \) 发送的消息： \( \mu_ {x \to f}(x) = \prod_ {g \in N(x) \setminus \{f\}} \mu_ {g \to x}(x) \) 其中 \( N(x) \) 是 \( x \) 的相邻因子节点集合。该消息是其他相邻因子向 \( x \) 传递消息的乘积。 步骤5：计算因子到变量的消息 因子节点 \( f \) 向相邻变量节点 \( x \) 发送的消息： \( \mu_ {f \to x}(x) = \sum_ {\mathbf{x}' \setminus x} \left[ f(\mathbf{x}') \prod_ {y \in N(f) \setminus \{x\}} \mu_ {y \to f}(y) \right ] \) 其中： \( \mathbf{x}' \) 是因子 \( f \) 连接的所有变量 对除 \( x \) 外所有变量求和（若连续变量则替换为积分） 乘积项为其他相邻变量向 \( f \) 传递的消息 3. 算法执行流程 步骤6：初始化消息 所有消息初始化为1（或均匀分布），表示无先验信息。 步骤7：迭代传递消息 按以下顺序重复直至收敛： 每个变量节点接收相邻因子节点的消息，按步骤4更新输出消息 每个因子节点接收相邻变量节点的消息，按步骤5更新输出消息 对于树状结构，可从叶节点开始向根节点传递，再反向传递。 步骤8：计算边缘分布 变量 \( x \) 的边缘分布（置信度）为： \( b(x) = \prod_ {f \in N(x)} \mu_ {f \to x}(x) \) 需对 \( b(x) \) 归一化使其和为1。 4. 特殊情况处理 步骤9：处理观测变量 若某变量 \( x \) 被观测到取值 \( x_ 0 \)，在计算消息时： 将 \( x \) 固定为 \( x_ 0 \) 传递消息时仅考虑与观测值一致的情况 步骤10：树状结构的精确性 在无环的树状因子图中，和积算法经一次正向传递和一次反向传递即可得到精确边缘分布。若存在环，需多次迭代（此时称为循环置信传播），结果可能为近似解。 总结 和积算法通过局部消息传递高效计算复杂函数的边缘分布，其核心在于将全局计算分解为局部操作的乘积与求和。该算法为许多概率推断任务提供了可扩展的解决方案。