这里 $ E_1 = [I_s, 0, \dots, 0]^T \in \mathbb{R}^{(m+1)s \times s} $。该最小二乘问题可通过QR分解或Givens旋转求解。

分块矩阵的广义最小残差法（GMRES）算法解多重线性方程组 题目描述 考虑多重线性方程组 \( AX = B \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是一个大规模稀疏矩阵，\( X, B \in \mathbb{R}^{n \times s} \) 包含 \( s \) 个右端项。分块GMRES算法通过Krylov子空间方法同时处理所有右端项，利用块Arnoldi过程生成正交基，并最小化残差范数。该方法特别适用于需要高效求解多个右端项线性方程组的场景。 解题过程 问题形式化 目标是求解 \( AX = B \)，其中 \( B = [ b_ 1, b_ 2, \dots, b_ s] \)。分块GMRES通过构建块Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ m(A, R_ 0) = \text{span}\{R_ 0, AR_ 0, \dots, A^{m-1}R_ 0\} \) 来近似解，其中 \( R_ 0 = B - AX_ 0 \) 是初始残差矩阵，\( X_ 0 \) 为初始猜测。 块Arnoldi过程 输入 ：矩阵 \( A \)，初始残差 \( R_ 0 \)，子空间维度 \( m \)。 步骤 ： a. 对 \( R_ 0 \) 进行经济型QR分解：\( R_ 0 = V_ 1 H_ 0 \)，其中 \( V_ 1 \in \mathbb{R}^{n \times s} \) 列正交，\( H_ 0 \in \mathbb{R}^{s \times s} \) 是上三角矩阵。 b. 对于 \( j = 1, 2, \dots, m \)： i. 计算 \( W = A V_ j \)。 ii. 对 \( W \) 与所有之前的 \( V_ i \) 进行正交化： \( H_ {i,j} = V_ i^T W \)， \( W = W - V_ i H_ {i,j} \)。 iii. 对 \( W \) 进行QR分解：\( W = V_ {j+1} H_ {j+1,j} \)，其中 \( H_ {j+1,j} \in \mathbb{R}^{s \times s} \) 是上三角矩阵。 c. 生成块Hessenberg矩阵 \( \bar{H} m \in \mathbb{R}^{(m+1)s \times ms} \)，其块元素为 \( H {i,j} \)。 最小化残差 近似解 \( X_ m = X_ 0 + V_ m Y_ m \)，其中 \( V_ m = [ V_ 1, \dots, V_ m] \)，\( Y_ m \in \mathbb{R}^{ms \times s} \) 通过最小化残差范数求解： \[ Y_ m = \arg\min_ {Y} \| \bar{H}_ m Y - E_ 1 H_ 0 \|_ F, \] 这里 \( E_ 1 = [ I_ s, 0, \dots, 0 ]^T \in \mathbb{R}^{(m+1)s \times s} \)。该最小二乘问题可通过QR分解或Givens旋转求解。 算法收敛与重启 检查残差 \( \|R_ m\|_ F \) 是否小于容忍误差。若未收敛且 \( m \) 达到最大子空间维度，则用当前解 \( X_ m \) 作为新的初始猜测，重启过程。 关键点 分块GMRES通过同时处理所有右端项，减少矩阵-向量乘积次数，提升计算效率。 块Arnoldi过程确保正交基的数值稳定性，避免线性依赖。 适用于需要求解多个右端项的大规模稀疏线性方程组，如计算物理和工程仿真。