其中节点 $x_i$ 和权重 $w_i$ 通过特定正交多项式理论预计算得到。

高斯-克朗罗德积分法的误差估计与自适应控制 题目描述 考虑计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上具有高阶导数但可能在某些子区间变化剧烈。要求使用高斯-克朗罗德积分法，结合其内嵌误差估计特性，设计自适应控制策略，在保证计算精度的同时优化计算量。 解题过程 高斯-克朗罗德公式的构造 高斯-克朗罗德公式是高斯求积公式的扩展，在 \(n\) 点高斯求积节点中插入 \(n+1\) 个新节点，形成 \(2n+1\) 个节点的求积公式。 设 \(G_ n\) 为 \(n\) 点高斯-勒让德求积结果，\(K_ {2n+1}\) 为 \(2n+1\) 点克朗罗德求积结果，则积分近似值为： \[ I \approx K_ {2n+1} = \sum_ {i=1}^{2n+1} w_ i f(x_ i) \] 其中节点 \(x_ i\) 和权重 \(w_ i\) 通过特定正交多项式理论预计算得到。 误差估计原理 利用高斯公式 \(G_ n\) 与克朗罗德公式 \(K_ {2n+1}\) 的差值作为误差估计： \[ E_ {\text{est}} = |K_ {2n+1} - G_ n| \] 由于 \(K_ {2n+1}\) 具有更高代数精度（通常为 \(3n+1\) 阶），而 \(G_ n\) 的精度为 \(2n-1\) 阶，该差值能有效反映积分误差。 自适应控制策略 步骤1：初始区间划分 将初始区间 \([ -1, 1 ]\) 作为当前子区间集合。 步骤2：误差估计与判断 对每个子区间 \([ a, b ]\)： 计算克朗罗德积分值 \(K_ {[ a,b]}\) 和高斯积分值 \(G_ {[ a,b]}\)（通过变量变换将区间映射到 \([ -1, 1 ]\)）。 估计误差 \(E_ {\text{est}} = |K_ {[ a,b]} - G_ {[ a,b ]}|\)。 若 \(E_ {\text{est}} \leq \frac{\varepsilon \cdot (b-a)}{2}\)（\(\varepsilon\) 为全局容差），接受该子区间的积分值。 否则，将子区间二等分，并递归处理两个新区间。 步骤3：递归终止与结果汇总 当所有子区间满足误差要求时，将各子区间积分值求和作为最终结果。 算法实现细节 通过栈或队列管理待处理的子区间，避免深度递归导致的栈溢出。 预计算高斯-克朗罗德节点和权重表（如使用 \(n=7\) 的15点克朗罗德公式）。 若子区间宽度过小（接近机器精度），需终止分裂并给出警告。 总结 该方法通过内嵌误差估计和自适应区间划分，在函数变化剧烈的区域自动加密节点，在平缓区域减少计算，兼顾精度与效率。实际应用中需根据函数特性调整初始节点数和容差参数。