基于线性规划的图最小费用流问题求解示例 我将为您讲解如何使用线性规划求解图的最小费用流问题。这是一个经典的网络优化问题，在物流配送、通信网络等领域有广泛应用。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边(i,j)∈E有容量u_ ij和单位流量费用c_ ij 每个顶点i∈V有净流量b_ i（b_ i>0表示供应，b_ i<0表示需求，∑b_ i=0） 目标：在满足容量约束和流量平衡的条件下，找到总运输费用最小的流。 数学模型建立 设决策变量x_ ij表示边(i,j)上的流量，则线性规划模型为： 最小化：∑_ {(i,j)∈E} c_ ij × x_ ij 约束条件： 流量平衡：对于每个顶点i，∑ {j:(i,j)∈E} x_ ij - ∑ {j:(j,i)∈E} x_ ji = b_ i 容量约束：对于每条边(i,j)，0 ≤ x_ ij ≤ u_ ij 具体算例 考虑一个简单的运输网络： 顶点：1（供应点，b₁=5），2（中转点，b₂=0），3（需求点，b₃=-5） 边：(1,2)：容量4，费用2；(1,3)：容量3，费用5；(2,3)：容量4，费用1) 解题过程 步骤1：建立线性规划模型 决策变量：x₁₂, x₁₃, x₂₃ 目标函数：min 2x₁₂ + 5x₁₃ + x₂₃ 约束条件： 顶点1：x₁₂ + x₁₃ = 5 顶点2：x₂₃ - x₁₂ = 0 顶点3：-x₁₃ - x₂₃ = -5 容量：0 ≤ x₁₂ ≤ 4, 0 ≤ x₁₃ ≤ 3, 0 ≤ x₂₃ ≤ 4 步骤2：化为标准形式 引入松弛变量，将不等式约束转化为等式： 最小化：2x₁₂ + 5x₁₃ + x₂₃ 约束条件： x₁₂ + x₁₃ = 5 x₂₃ - x₁₂ = 0 -x₁₃ - x₂₃ = -5 x₁₂ + s₁ = 4 (s₁ ≥ 0) x₁₃ + s₂ = 3 (s₂ ≥ 0) x₂₃ + s₃ = 4 (s₃ ≥ 0) 所有变量 ≥ 0 步骤3：单纯形法求解 初始基变量：s₁, s₂, s₃ 初始基解：x₁₂=0, x₁₃=0, x₂₃=0, s₁=4, s₂=3, s₃=4 第一次迭代： 选择检验数最小的x₁₂进基（检验数=2） 确定出基变量：min{4/1, ∞, ∞} = 4，s₁出基 新的基变量：x₁₂, s₂, s₃ 新解：x₁₂=4, x₁₃=0, x₂₃=0, s₁=0, s₂=3, s₃=4 目标值：8 第二次迭代： 选择x₁₃进基（检验数=3） 确定出基变量：min{1/1, 3/1, ∞} = 1，通过流量平衡约束确定 新的基变量：x₁₂, x₁₃, s₃ 新解：x₁₂=4, x₁₃=1, x₂₃=4, s₁=0, s₂=2, s₃=0 目标值：2×4 + 5×1 + 1×4 = 17 步骤4：最优性检验 当前所有非基变量的检验数均为非负： s₁的检验数：2 ≥ 0 s₂的检验数：3 ≥ 0 因此达到最优解。 步骤5：结果分析 最优解：x₁₂=4, x₁₃=1, x₂₃=4 最小总费用：2×4 + 5×1 + 1×4 = 17 流量分配： 从顶点1到顶点2：4单位（费用8） 从顶点1到顶点3：1单位（费用5） 从顶点2到顶点3：4单位（费用4） 这个解满足了所有顶点的净流量要求，且没有违反任何容量约束。 实际应用意义 该解决方案表明，为了最小化总运输成本，应该充分利用费用较低的路径(1,2)和(2,3)，只在必要时使用费用较高的直接路径(1,3)。这种思路在实际物流规划中非常重要，可以帮助企业优化运输路线，降低运营成本。