Householder双对角化在矩阵分解预处理中的应用 我将为您讲解Householder双对角化在矩阵分解预处理中的应用。这个算法是计算矩阵奇异值分解（SVD）的重要预处理步骤。 题目描述 给定一个m×n实矩阵A，我们需要找到正交矩阵U和V，以及一个双对角矩阵B，使得A = UBVᵀ。双对角矩阵B的非零元素仅出现在主对角线及其上一条对角线上。这个过程称为双对角化，是完整SVD计算的高效预处理步骤。 解题过程详解 步骤1：理解双对角化的目标 双对角化要将任意稠密矩阵A转化为稀疏的双对角形式B 双对角矩阵B的形式为： 主对角线元素：b₁₁, b₂₂, ..., bₚₚ（p = min(m,n)） 上对角元素：b₁₂, b₂₃, ..., b₍ₚ₋₁₎ₚ 其余元素全为0 步骤2：第一次Householder变换（列变换） 考虑矩阵A的第一列a₁ 构造Householder向量v₁，使得变换后第一列除第一个元素外全为0 计算v₁ = a₁ ± ||a₁||e₁（选择符号以避免数值不稳定） 构造Householder矩阵P₁ = I - 2(v₁v₁ᵀ)/(v₁ᵀv₁) 应用变换：A₁ = P₁A 此时A₁的第一列除了(1,1)位置外全为0 步骤3：第二次Householder变换（行变换） 对A₁的第一行（去掉第一个元素）进行类似处理 构造Householder向量w₁，作用于右侧 得到Householder矩阵Q₁ = I - 2(w₁w₁ᵀ)/(w₁ᵀw₁) 应用变换：A₂ = A₁Q₁ 此时矩阵变为第一行和第一列除了前两个元素外全为0 步骤4：迭代过程 对缩减后的子矩阵重复步骤2和3 第k次迭代处理A的右下角(m-k)×(n-k)子矩阵 每次迭代使矩阵多一行一列满足双对角形式 经过p-1次迭代（p = min(m,n)），矩阵完全双对角化 步骤5：累积变换矩阵 记录所有左侧变换：U = P₁P₂...Pₖ 记录所有右侧变换：V = Q₁Q₂...Qₗ 最终得到A = UBVᵀ，其中U和V是正交矩阵 步骤6：在SVD计算中的预处理作用 双对角矩阵B的SVD计算比原矩阵A简单得多 可以使用高效的隐式QR算法计算B的SVD 整个过程数值稳定，适合大型稀疏矩阵 步骤7：算法复杂度分析 浮点运算次数约为O(mn²)（假设m≥n） 比直接计算完整SVD更高效 内存需求相对较小，适合大规模计算 这个算法通过将一般矩阵转化为双对角形式，为后续的SVD计算提供了数值稳定且高效的基础，是现代数值线性代数中的重要工具。