高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

字数 2799 2025-11-15 13:00:44

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

题目描述
计算无穷积分

\[I = \int_{1}^{\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{x-1}} \, dx \]

其中被积函数在积分下限 \(x=1\) 处具有 \(1/\sqrt{x-1}\) 的奇异性，而在无穷远处要求 \(f(x)\) 充分光滑且衰减足够快（例如 \(f(x)\) 为指数衰减函数）。要求通过变量替换结合高斯-切比雪夫求积公式，将无穷积分转化为标准形式并设计高效算法。

解题过程

步骤1：分析积分特性
原积分有两个关键特征：

端点奇异性：在 \(x=1\) 处，被积函数因分母 \(\sqrt{x-1}\) 而趋于无穷，属于代数奇异性。
无穷区间：积分上限为无穷大，需处理无穷远处的收敛性。

高斯-切比雪夫求积公式（第二类）适用于积分区间 \([-1,1]\) 且权函数为 \(\sqrt{1-t^2}\) 的积分。需通过变量替换将原积分映射到该标准形式。

步骤2：消除无穷区间
首先通过变量替换 \(x = 1 + \frac{1+t}{1-t}\)，将无穷区间 \([1, \infty)\) 映射到 \([-1,1)\)：

当 \(t \to -1^+\) 时，\(x \to 1^+\)；
当 \(t \to 1^-\) 时，\(x \to +\infty\)。

计算微分：

\[dx = \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \]

代入原积分：

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \]

化简分母中的根式：

\[\sqrt{\frac{1+t}{1-t}} = \frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}} \]

代入得：

\[I = \int_{-1}^{1} f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt = 2 \int_{-1}^{1} f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}} \, dt \]

步骤3：匹配高斯-切比雪夫权函数
高斯-切比雪夫求积公式（第二类）针对权函数 \(w(t) = \sqrt{1-t^2}\)，但当前积分中的权函数为 \(\frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}}\)。注意到：

\[\sqrt{1-t^2} = \sqrt{1-t} \cdot \sqrt{1+t} \]

因此：

\[\frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}} = \frac{1}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \]

代入积分：

\[I = 2 \int_{-1}^{1} \frac{f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \]

定义新函数：

\[g(t) = \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \]

则积分化为标准形式：

\[I = \int_{-1}^{1} g(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \]

注意：此形式与高斯-切比雪夫求积公式（第一类）的权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\) 不一致。需重新调整。

步骤4：修正权函数匹配
实际需使用高斯-切比雪夫求积公式（第二类），其权函数为 \(\sqrt{1-t^2}\)。将原积分改写为：

\[I = \int_{-1}^{1} \left[ \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right] \sqrt{1-t^2} \, dt \]

定义：

\[h(t) = \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2 \sqrt{1-t^2}} \]

则积分化为：

\[I = \int_{-1}^{1} h(t) \sqrt{1-t^2} \, dt \]

此形式匹配高斯-切比雪夫求积公式（第二类）的权函数 \(\sqrt{1-t^2}\)。

步骤5：应用高斯-切比雪夫求积公式
高斯-切比雪夫求积公式（第二类）的近似表达式为：

\[\int_{-1}^{1} \phi(t) \sqrt{1-t^2} \, dt \approx \sum_{k=1}^{n} w_k \phi(t_k) \]

其中节点 \(t_k\) 是切比雪夫多项式 \(U_n(t)\) 的零点：

\[t_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad k=1,2,\dots,n \]

权重为：

\[w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k\pi}{n+1}\right) \]

将 \(\phi(t) = h(t)\) 代入，得：

\[I \approx \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot \frac{2f\left(1 + \frac{1+t_k}{1-t_k}\right)}{(1-t_k)^2 \sqrt{1-t_k^2}} \]

步骤6：数值实现与验证

选择节点数 \(n\)，计算节点 \(t_k\) 和权重 \(w_k\)。
对每个 \(t_k\)，计算 \(x_k = 1 + \frac{1+t_k}{1-t_k}\)。
计算被积函数值 \(f(x_k)\) 和加权和。
通过增加 \(n\) 验证结果收敛性。

示例：若 \(f(x) = e^{-x}\)，则积分解析解可通过特殊函数表示，数值结果随 \(n\) 增大趋近解析值。

关键点总结

通过变量替换同时处理端点奇异性和无穷区间。
利用权函数性质将积分转化为高斯-切比雪夫求积公式的标准形式。
注意区分第一类和第二类高斯-切比雪夫公式的权函数差异。

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧题目描述计算无穷积分 \[ I = \int_ {1}^{\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{x-1}} \, dx \] 其中被积函数在积分下限 \(x=1\) 处具有 \(1/\sqrt{x-1}\) 的奇异性，而在无穷远处要求 \(f(x)\) 充分光滑且衰减足够快（例如 \(f(x)\) 为指数衰减函数）。要求通过变量替换结合高斯-切比雪夫求积公式，将无穷积分转化为标准形式并设计高效算法。解题过程步骤1：分析积分特性原积分有两个关键特征：端点奇异性：在 \(x=1\) 处，被积函数因分母 \(\sqrt{x-1}\) 而趋于无穷，属于代数奇异性。无穷区间：积分上限为无穷大，需处理无穷远处的收敛性。高斯-切比雪夫求积公式（第二类）适用于积分区间 \([ -1,1 ]\) 且权函数为 \(\sqrt{1-t^2}\) 的积分。需通过变量替换将原积分映射到该标准形式。步骤2：消除无穷区间首先通过变量替换 \(x = 1 + \frac{1+t}{1-t}\)，将无穷区间 \( [ 1, \infty)\) 映射到 \( [ -1,1)\)：当 \(t \to -1^+\) 时，\(x \to 1^+\)；当 \(t \to 1^-\) 时，\(x \to +\infty\)。计算微分： \[ dx = \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \] 代入原积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \] 化简分母中的根式： \[ \sqrt{\frac{1+t}{1-t}} = \frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}} \] 代入得： \[ I = \int_ {-1}^{1} f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt = 2 \int_ {-1}^{1} f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}} \, dt \] 步骤3：匹配高斯-切比雪夫权函数高斯-切比雪夫求积公式（第二类）针对权函数 \(w(t) = \sqrt{1-t^2}\)，但当前积分中的权函数为 \(\frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}}\)。注意到： \[ \sqrt{1-t^2} = \sqrt{1-t} \cdot \sqrt{1+t} \] 因此： \[ \frac{1}{(1-t)^{3/2} \sqrt{1+t}} = \frac{1}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \] 代入积分： \[ I = 2 \int_ {-1}^{1} \frac{f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \] 定义新函数： \[ g(t) = \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \] 则积分化为标准形式： \[ I = \int_ {-1}^{1} g(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \] 注意：此形式与高斯-切比雪夫求积公式（第一类）的权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\) 不一致。需重新调整。步骤4：修正权函数匹配实际需使用高斯-切比雪夫求积公式（第二类），其权函数为 \(\sqrt{1-t^2}\)。将原积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} \left[ \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right ] \sqrt{1-t^2} \, dt \] 定义： \[ h(t) = \frac{2f\left(1 + \frac{1+t}{1-t}\right)}{(1-t)^2 \sqrt{1-t^2}} \] 则积分化为： \[ I = \int_ {-1}^{1} h(t) \sqrt{1-t^2} \, dt \] 此形式匹配高斯-切比雪夫求积公式（第二类）的权函数 \(\sqrt{1-t^2}\)。步骤5：应用高斯-切比雪夫求积公式高斯-切比雪夫求积公式（第二类）的近似表达式为： \[ \int_ {-1}^{1} \phi(t) \sqrt{1-t^2} \, dt \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k \phi(t_ k) \] 其中节点 \(t_ k\) 是切比雪夫多项式 \(U_ n(t)\) 的零点： \[ t_ k = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \quad k=1,2,\dots,n \] 权重为： \[ w_ k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k\pi}{n+1}\right) \] 将 \(\phi(t) = h(t)\) 代入，得： \[ I \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k \cdot \frac{2f\left(1 + \frac{1+t_ k}{1-t_ k}\right)}{(1-t_ k)^2 \sqrt{1-t_ k^2}} \] 步骤6：数值实现与验证选择节点数 \(n\)，计算节点 \(t_ k\) 和权重 \(w_ k\)。对每个 \(t_ k\)，计算 \(x_ k = 1 + \frac{1+t_ k}{1-t_ k}\)。计算被积函数值 \(f(x_ k)\) 和加权和。通过增加 \(n\) 验证结果收敛性。示例：若 \(f(x) = e^{-x}\)，则积分解析解可通过特殊函数表示，数值结果随 \(n\) 增大趋近解析值。关键点总结通过变量替换同时处理端点奇异性和无穷区间。利用权函数性质将积分转化为高斯-切比雪夫求积公式的标准形式。注意区分第一类和第二类高斯-切比雪夫公式的权函数差异。