高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

字数 2570 2025-11-15 10:22:17

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧

问题描述
考虑计算形如 \(I = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx\) 的无穷积分，其中被积函数 \(f(x)\) 在积分下限 \(x=0\) 处具有奇异性（例如 \(f(x) = x^{-1/2} g(x)\)，\(g(x)\) 在 \(x=0\) 附近光滑）。直接应用高斯-勒让德求积公式（适用于有限区间 \([-1,1]\)）会因积分域无穷和端点奇异性导致精度严重下降。需通过变量替换将原积分变换为适合高斯-勒让德公式计算的形式。

解题过程

步骤1: 分析问题特性

无穷积分域：高斯-勒让德公式需有限区间 \([-1,1]\)，需通过变量替换将 \([0, \infty)\) 映射到有限区间。
端点奇异性：在 \(x=0\) 处，若 \(f(x)\) 发散（如 \(x^{-1/2}\)），需通过替换消去奇异性，或使新被积函数在端点处光滑。

步骤2: 选择变量替换策略
常用替换为 指数型替换：
令 \(x = -\ln t\)，则：

积分域变换：当 \(x=0\) 时 \(t=1\)；当 \(x \to \infty\) 时 \(t \to 0^+\)。积分变为：

\[ I = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{1}^{0} f(-\ln t) \cdot \left( -\frac{1}{t} \right) dt = \int_{0}^{1} \frac{f(-\ln t)}{t} \, dt. \]

奇异性处理：若原函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处有 \(x^{-\alpha}\) 型奇异性（\(0<\alpha<1\)），则 \(f(-\ln t) \sim (-\ln t)^{-\alpha}\)。在 \(t=1\) 处，\(-\ln t \sim 1-t\)，因此新被积函数 \(\frac{f(-\ln t)}{t}\) 在 \(t=1\) 处为 \((1-t)^{-\alpha}\)，仍可能奇异。需进一步处理。

步骤3: 结合奇异性消除技巧
若原函数可分解为 \(f(x) = x^{-\alpha} g(x)\)（\(g(x)\) 光滑），采用 加权变量替换：

令 \(x = t^{\beta}\)（\(\beta>0\)），将奇异性转化为权函数形式：

\[ I = \int_{0}^{\infty} x^{-\alpha} g(x) \, dx = \beta \int_{0}^{\infty} t^{\beta(1-\alpha) - 1} g(t^{\beta}) \, dt. \]

再通过指数替换 \(t = -\ln u\) 将积分域变为 \([0,1]\)：

\[ I = \beta \int_{0}^{1} (-\ln u)^{\beta(1-\alpha) - 1} g\left( (-\ln u)^{\beta} \right) \cdot \frac{1}{u} \, du. \]

选择 \(\beta\) 使奇异性消除：例如取 \(\beta = \frac{1}{1-\alpha}\)，则新被积函数化为 \(\frac{g\left( (-\ln u)^{\beta} \right)}{u}\)，在 \(u=1\) 处光滑（因 \(-\ln u \sim 1-u\) 且 \(g\) 光滑）。

步骤4: 应用高斯-勒让德求积公式
将积分 \(I = \int_{0}^{1} h(u) \, du\) 通过线性变换转为 \([-1,1]\) 上的积分：
令 \(u = \frac{v+1}{2}\)，则：

\[I = \int_{-1}^{1} h\left( \frac{v+1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} \, dv \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot \frac{1}{2} h\left( \frac{v_i+1}{2} \right), \]

其中 \(v_i, w_i\) 为 \(n\) 点高斯-勒让德公式的节点和权重。

步骤5: 误差控制与节点数选择

若替换后函数 \(h(u)\) 在 \([0,1]\) 上光滑，高斯-勒让德公式具有指数级收敛性。
实践中可通过增加节点数 \(n\) 或分段积分（自适应策略）提高精度，尤其当 \(g(x)\) 在远处振荡或衰减缓慢时。

实例演示
计算 \(I = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx\)。

分解函数：\(f(x) = x^{-1/2} \cos x\)，即 \(\alpha=1/2, g(x)=\cos x\)。
选择 \(\beta = \frac{1}{1-1/2} = 2\)，作替换 \(x = t^2\)：

\[ I = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(t^2)}{t} \cdot t \, dt = 2 \int_{0}^{\infty} \cos(t^2) \, dt. \]

再令 \(t = (-\ln u)^{1/2}\)，得：

\[ I = \int_{0}^{1} \frac{\cos(-\ln u)}{u \sqrt{-\ln u}} \, du. \]

通过高斯-勒让德公式计算此积分，取 \(n=20\) 可得高精度结果 \(I \approx \sqrt{\frac{\pi}{2}}\)。

总结
通过变量替换将无穷积分和端点奇异性转化为光滑函数在有限区间上的积分，是高斯-勒让德公式处理此类问题的核心技巧。关键在于替换的选择需同时解决积分域无穷和奇异性两个问题。

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性的无穷积分中的变量替换技巧问题描述考虑计算形如 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx \) 的无穷积分，其中被积函数 \( f(x) \) 在积分下限 \( x=0 \) 处具有奇异性（例如 \( f(x) = x^{-1/2} g(x) \)，\( g(x) \) 在 \( x=0 \) 附近光滑）。直接应用高斯-勒让德求积公式（适用于有限区间 \([ -1,1 ]\)）会因积分域无穷和端点奇异性导致精度严重下降。需通过变量替换将原积分变换为适合高斯-勒让德公式计算的形式。解题过程步骤1: 分析问题特性无穷积分域：高斯-勒让德公式需有限区间 \([ -1,1]\)，需通过变量替换将 \( [ 0, \infty)\) 映射到有限区间。端点奇异性：在 \( x=0 \) 处，若 \( f(x) \) 发散（如 \( x^{-1/2} \)），需通过替换消去奇异性，或使新被积函数在端点处光滑。步骤2: 选择变量替换策略常用替换为指数型替换：令 \( x = -\ln t \)，则：积分域变换：当 \( x=0 \) 时 \( t=1 \)；当 \( x \to \infty \) 时 \( t \to 0^+ \)。积分变为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_ {1}^{0} f(-\ln t) \cdot \left( -\frac{1}{t} \right) dt = \int_ {0}^{1} \frac{f(-\ln t)}{t} \, dt. \] 奇异性处理：若原函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处有 \( x^{-\alpha} \) 型奇异性（\( 0<\alpha <1 \)），则 \( f(-\ln t) \sim (-\ln t)^{-\alpha} \)。在 \( t=1 \) 处，\( -\ln t \sim 1-t \)，因此新被积函数 \( \frac{f(-\ln t)}{t} \) 在 \( t=1 \) 处为 \( (1-t)^{-\alpha} \)，仍可能奇异。需进一步处理。步骤3: 结合奇异性消除技巧若原函数可分解为 \( f(x) = x^{-\alpha} g(x) \)（\( g(x) \) 光滑），采用加权变量替换：令 \( x = t^{\beta} \)（\( \beta>0 \)），将奇异性转化为权函数形式： \[ I = \int_ {0}^{\infty} x^{-\alpha} g(x) \, dx = \beta \int_ {0}^{\infty} t^{\beta(1-\alpha) - 1} g(t^{\beta}) \, dt. \] 再通过指数替换 \( t = -\ln u \) 将积分域变为 \([ 0,1 ]\)： \[ I = \beta \int_ {0}^{1} (-\ln u)^{\beta(1-\alpha) - 1} g\left( (-\ln u)^{\beta} \right) \cdot \frac{1}{u} \, du. \] 选择 \( \beta \) 使奇异性消除：例如取 \( \beta = \frac{1}{1-\alpha} \)，则新被积函数化为 \( \frac{g\left( (-\ln u)^{\beta} \right)}{u} \)，在 \( u=1 \) 处光滑（因 \( -\ln u \sim 1-u \) 且 \( g \) 光滑）。步骤4: 应用高斯-勒让德求积公式将积分 \( I = \int_ {0}^{1} h(u) \, du \) 通过线性变换转为 \([ -1,1 ]\) 上的积分：令 \( u = \frac{v+1}{2} \)，则： \[ I = \int_ {-1}^{1} h\left( \frac{v+1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} \, dv \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot \frac{1}{2} h\left( \frac{v_ i+1}{2} \right), \] 其中 \( v_ i, w_ i \) 为 \( n \) 点高斯-勒让德公式的节点和权重。步骤5: 误差控制与节点数选择若替换后函数 \( h(u) \) 在 \([ 0,1 ]\) 上光滑，高斯-勒让德公式具有指数级收敛性。实践中可通过增加节点数 \( n \) 或分段积分（自适应策略）提高精度，尤其当 \( g(x) \) 在远处振荡或衰减缓慢时。实例演示计算 \( I = \int_ {0}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx \)。分解函数：\( f(x) = x^{-1/2} \cos x \)，即 \( \alpha=1/2, g(x)=\cos x \)。选择 \( \beta = \frac{1}{1-1/2} = 2 \)，作替换 \( x = t^2 \)： \[ I = 2 \int_ {0}^{\infty} \frac{\cos(t^2)}{t} \cdot t \, dt = 2 \int_ {0}^{\infty} \cos(t^2) \, dt. \] 再令 \( t = (-\ln u)^{1/2} \)，得： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(-\ln u)}{u \sqrt{-\ln u}} \, du. \] 通过高斯-勒让德公式计算此积分，取 \( n=20 \) 可得高精度结果 \( I \approx \sqrt{\frac{\pi}{2}} \)。总结通过变量替换将无穷积分和端点奇异性转化为光滑函数在有限区间上的积分，是高斯-勒让德公式处理此类问题的核心技巧。关键在于替换的选择需同时解决积分域无穷和奇异性两个问题。