高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} e^{-x} \cos(10x) \, dx \]

该被积函数 \(f(x) = e^{-x} \cos(10x)\) 在区间 \([-1, 1]\) 上具有指数衰减与高频振荡特性。直接应用高斯-勒让德求积公式时，由于振荡导致多项式逼近困难，需通过权函数匹配优化计算效率与精度。

解题过程

1. 问题分析

   • 振荡衰减函数的积分难点在于：标准高斯-勒让德公式用多项式逼近被积函数，但高频振荡需极高阶多项式才能精确逼近，计算成本高。
   • 核心思路：将振荡部分分离为权函数，构造与振荡模式匹配的正交多项式，从而降低所需节点数。

2. 权函数匹配原理

   • 高斯求积的通式：

\[ \int_a^b w(x) f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]

 其中 $w(x)$ 为权函数，$x_i$ 和 $w_i$ 是对应于 $w(x)$ 的正交多项式的节点与权重。  

• 本例中，若直接取 \(w(x)=1\)（标准高斯-勒让德），需大量节点捕捉振荡；若将振荡部分 \(\cos(10x)\) 吸收进权函数，可显著提升效率。

3. 权函数构造
   • 将积分改写为：

\[ I = \int_{-1}^{1} \left[e^{-x}\right] \cdot \cos(10x) \, dx \]

 但 $\cos(10x)$ 在 $[-1,1]$ 上非正定，不能直接作为权函数。需通过变量替换将其转化为标准权函数形式：  
 - 令 $t = 10x$，则积分区间变为 $[-10, 10]$，积分改写为：  

\[ I = \frac{1}{10} \int_{-10}^{10} e^{-t/10} \cos(t) \, dt \]

 - 利用欧拉公式将 $\cos(t)$ 表示为复指数形式，分离实部后，可构造权函数 $w(t) = e^{-t/10}$，但区间对称性可结合偶函数性质简化。

4. 偶函数化简
   • 由于 \(e^{-t/10} \cos(t)\) 是偶函数，积分可简化为：

\[ I = \frac{2}{10} \int_0^{10} e^{-t/10} \cos(t) \, dt \]

• 此时权函数 \(w(t) = e^{-t/10}\) 在 \([0, 10]\) 上非标准，但可通过映射至拉盖尔权函数 \(e^{-t}\) 的区间处理。

5. 映射至高斯-拉盖尔求积
   • 令 \(s = t/10\)，则 \(t = 10s\)，\(dt = 10\, ds\)，积分变为：

\[ I = 2 \int_0^{1} e^{-s} \cos(10s \cdot 10) \, ds = 2 \int_0^{1} e^{-s} \cos(100s) \, ds \]

 此时权函数 $e^{-s}$ 与高斯-拉盖尔求积的权函数匹配，但区间应为 $[0, \infty)$。由于 $e^{-s}$ 在 $s>1$ 时衰减快，可近似用高斯-拉盖尔公式计算：  

\[ I \approx 2 \sum_{i=1}^n w_i^{\text{Lag}} \cos(100 s_i^{\text{Lag}}) \]

 其中 $s_i^{\text{Lag}}$ 和 $w_i^{\text{Lag}}$ 为拉盖尔多项式的节点和权重。

6. 误差控制与节点选择

   • 高斯-拉盖尔公式在有限区间截断会引入误差，需评估截断影响：
     • 计算 \(E_{\text{tail}} = \int_1^\infty e^{-s} \cos(100s) \, ds\)，通过积分上限估计其量级（例如通过分部积分得 \(E_{\text{tail}} \sim 10^{-4}\)）。
   • 若要求更高精度，可增加节点数 \(n\) 或使用复合高斯公式分段处理振荡。

7. 实际计算与对比

   • 以 \(n=20\) 为例，高斯-拉盖尔公式可直接计算近似值，与标准高斯-勒让德（需 \(n>50\)）对比：
     • 权函数匹配法仅用少量节点即可达到相同精度，效率显著提升。

总结
通过将振荡函数部分吸收进权函数，并利用高斯-拉盖尔求积公式处理衰减振荡积分，大幅减少了所需节点数。此方法适用于一般形式的振荡衰减函数积分，核心在于识别振荡模式并匹配至标准正交多项式体系。