Dijkstra算法求单源最短路径问题 我将为您详细讲解Dijkstra算法求解单源最短路径问题的完整内容。 问题描述 给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E都有一个非负权重w(e)≥0，以及一个源顶点s∈V。我们需要找到从源顶点s到图中所有其他顶点的最短路径距离。 算法核心思想 Dijkstra算法采用贪心策略，逐步构建从源顶点出发的最短路径树。算法维护两个集合：已确定最短路径的顶点集合S，以及未确定最短路径的顶点集合V-S。算法每次从V-S中选择距离源顶点最近的顶点加入S，并更新该顶点的邻居的距离值。 详细解题步骤 步骤1：初始化 创建距离数组dist[]，其中dist[ v ]表示从源顶点s到顶点v的当前最短距离估计 初始化dist[ s] = 0，对于所有其他顶点v≠s，dist[ v ] = ∞ 创建前驱数组prev[ ]，用于记录最短路径上的前驱顶点 创建优先队列（最小堆）Q，包含所有顶点，按dist值排序 步骤2：主循环 当优先队列Q不为空时，重复以下操作： 从Q中取出dist值最小的顶点u（即当前距离源顶点最近的未处理顶点） 将顶点u标记为已处理（加入集合S） 对于u的每个邻居顶点v，且v仍在Q中（即未处理）： 计算从u到v的边的权重w(u,v) 计算新的距离估计：new_ dist = dist[ u ] + w(u,v) 如果new_ dist < dist[ v ]： 更新dist[ v] = new_ dist 更新prev[ v ] = u 调整优先队列Q中v的位置（因为dist[ v ]改变了） 步骤3：路径重构 算法结束后，可以通过prev数组反向追踪构建从源顶点s到任意顶点v的实际最短路径： 从目标顶点v开始，不断访问prev[ v ]直到回到源顶点s 反转这个顶点序列，就得到了从s到v的最短路径 关键特性说明 正确性保证 算法依赖的关键性质：当顶点u被加入集合S时，dist[ u ]已经是s到u的最短距离 这个性质成立的前提是所有边权重非负 如果存在负权边，该性质不成立，需要使用Bellman-Ford算法 时间复杂度分析 使用数组实现：O(|V|²) 使用二叉堆实现：O((|V|+|E|)log|V|) 使用斐波那契堆实现：O(|V|log|V| + |E|) 实际应用示例 假设有图：顶点{A,B,C,D}，边权重：A-B:1, A-C:4, B-C:2, B-D:6, C-D:3，源顶点为A 执行过程： 初始化：dist[ A ]=0, 其他为∞ 处理A：更新B=1, C=4 处理B：通过B更新C=min(4,1+2)=3, 更新D=1+6=7 处理C：通过C更新D=min(7,3+3)=6 最终结果：A:0, B:1, C:3, D:6 算法局限性 不能处理负权边 对于稠密图效率较高，但对于稀疏图可能有更优的实现方式 是贪心算法的经典应用，体现了"局部最优导致全局最优"的思想