非线性规划中的自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题 我将为您讲解这个结合了自适应信赖域策略和序列线性规划思想的混合算法。让我们通过一个具体问题来理解这个算法。 问题描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ，初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5。 算法原理 这个混合算法结合了信赖域法的全局收敛性和序列线性规划的高效局部收敛性，通过自适应机制调整信赖域半径和线性化程度。 解题步骤 步骤1：问题线性化 在当前迭代点 xᵏ，我们对目标函数和约束进行线性化近似： 目标函数线性化： f̃(x) ≈ f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) 约束线性化： g̃₁(x) ≈ g₁(xᵏ) + ∇g₁(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≤ 0 g̃₂(x) ≈ g₂(xᵏ) + ∇g₂(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≤ 0 g̃₃(x) ≈ g₃(xᵏ) + ∇g₃(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≤ 0 其中梯度计算为： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 步骤2：构建线性规划子问题 在信赖域约束 ‖x - xᵏ‖ ≤ Δᵏ 下，求解线性规划子问题： 最小化 f̃(x) 满足 g̃ᵢ(x) ≤ 0, i = 1,2,3 ‖x - xᵏ‖ ≤ Δᵏ 步骤3：计算实际下降量与预测下降量 设子问题的解为 xᵏ⁺，计算： 实际下降量：Aredᵏ = f(xᵏ) - f(xᵏ⁺) 预测下降量：Predᵏ = f̃(xᵏ) - f̃(xᵏ⁺) 步骤4：自适应调整信赖域半径 根据比值 ρᵏ = Aredᵏ / Predᵏ 调整信赖域半径： 如果 ρᵏ < 0.25，说明模型拟合差，缩小信赖域： Δᵏ⁺¹ = 0.5Δᵏ 如果 ρᵏ > 0.75 且 ‖xᵏ⁺ - xᵏ‖ = Δᵏ，说明模型拟合好，可扩大搜索： Δᵏ⁺¹ = min(2Δᵏ, Δ_ max) 否则保持当前半径： Δᵏ⁺¹ = Δᵏ 步骤5：迭代更新 如果 ρᵏ > η (通常 η = 0.1)，接受新点： xᵏ⁺¹ = xᵏ⁺ 否则拒绝新点，保持原位置： xᵏ⁺¹ = xᵏ 具体计算过程 第一次迭代 (k=0) 初始点：x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ, Δ₀ = 0.5 f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20 计算梯度： ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [ 4×(-8) + 2×(-2), 8] = [ -32 - 4, 8] = [ -36, 8 ]ᵀ ∇g₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ 线性化模型： f̃(x) ≈ 20 + [ -36, 8](x - [ 0,1 ])ᵀ = 20 -36x₁ + 8(x₂ - 1) g̃₁(x) ≈ -1 + [ 0, -1](x - [ 0,1 ])ᵀ = -1 - (x₂ - 1) = -x₂ ≤ 0 求解线性规划子问题得到 x⁰⁺，计算 ρ⁰，根据结果调整 Δ₁ 和确定 x¹。 收敛判断 重复上述过程直到满足收敛条件： ‖∇f(xᵏ) + ∑λᵢ∇gᵢ(xᵏ)‖ < ε 且 gᵢ(xᵏ) ≤ 0, λᵢ ≥ 0, λᵢgᵢ(xᵏ) = 0 算法优势 自适应信赖域机制保证全局收敛性 序列线性化降低计算复杂度 混合策略平衡收敛速度与稳定性 适用于中等规模非线性规划问题 这个算法通过智能调整搜索区域大小和线性化程度，在保证收敛性的同时提高了计算效率。