其中 $ x_i $ 是勒让德多项式 $ P_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的自适应区域分解技巧 题目描述 计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上存在一个或多个尖锐的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-1000(x-0.5)^2} \)）。这类函数在峰值区域变化剧烈，而在其他区域平缓，直接应用高斯-勒让德求积公式可能因节点不足而漏掉峰值特征，导致积分误差较大。需通过自适应区域分解，在峰值附近加密节点，平缓区域减少计算量。 解题过程 问题分析 峰值函数在狭窄区间内贡献主要积分值，但标准高斯-勒让德公式的节点分布固定，可能无法捕捉峰值。 自适应策略：根据子区间上的误差估计，动态将区间划分为更小的子区间，在峰值处采用高阶求积，平缓处用低阶求积。 高斯-勒让德求积基础 \( n \) 点高斯-勒让德公式在 \([ -1,1 ]\) 上的形式为： \[ I_ n = \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是勒让德多项式 \( P_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 若直接应用于整个区间，峰值可能落在节点之间，导致低估积分值。 自适应区域分解策略 步骤1：初始划分 将 \([ -1,1 ]\) 分为若干等长子区间（如2个）。 步骤2：子区间积分计算 对每个子区间 \([ a,b]\)，通过变量替换 \( t = \frac{2x - (a+b)}{b-a} \) 映射到 \([ -1,1 ]\)，应用 \( n \) 点高斯-勒让德公式： \[ I_ {[ a,b]} = \frac{b-a}{2} \sum_ {i=1}^n w_ i f\left( \frac{(b-a)t_ i + (a+b)}{2} \right) \] 步骤3：误差估计 在同一子区间上分别用 \( n \) 点和 \( m \) 点（\( m > n \)）公式计算积分值 \( I_ n \) 和 \( I_ m \)，以 \( |I_ n - I_ m| \) 作为误差估计。若误差超过阈值 \( \epsilon \)，则标记该区间需进一步分解。 步骤4：递归分解 对误差超标的子区间二等分，递归应用步骤2-3，直到所有子区间误差满足要求或达到最大递归深度。 步骤5：结果汇总 将所有子区间的积分值求和，得到全局积分近似。 关键技巧 误差阈值选择 ：根据积分总精度需求设定 \( \epsilon \)，通常取 \( \epsilon = \text{tol} \times (b-a) / 2 \)，其中 \( \text{tol} \) 为全局容差。 递归终止条件 ：除误差达标外，需限制最小区间长度，避免无限划分。 节点复用 ：在相邻子区间共享边界节点，避免重复计算。 示例演示 考虑 \( f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2} + 0.01 \)（峰值在 \( x=0.5 \)）： 初始区间 \([ -1,1]\) 的误差估计较大，触发对 \([ 0,1 ]\) 的划分。 在 \([ 0,1]\) 中，峰值位于子区间 \([ 0.25,0.75]\)，进一步划分至 \([ 0.4,0.6 ]\) 等区间，直到误差可控。 平缓区域 \([ -1,0 ]\) 仅需少量计算。 优势与注意事项 优势 ：在峰值区域自动加密节点，平衡计算效率与精度。 注意 ：避免过度分解导致计算量激增，需合理设置容差和递归深度。 总结 通过结合高斯-勒让德公式的高精度和自适应分解的灵活性，可有效处理峰值函数积分问题。此方法将全局积分分解为局部优化计算，显著提升数值积分的可靠性和效率。