分块矩阵的预处理共轭梯度法解对称正定多重线性方程组
题目描述
考虑对称正定多重线性方程组 \(A X = B\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是对称正定矩阵，\(X, B \in \mathbb{R}^{n \times s}\) 包含 \(s\) 个右端项和对应的解向量。分块预处理共轭梯度法（Block Preconditioned Conjugate Gradient, Block PCG）通过同时处理所有右端项，并利用分块预处理技术加速收敛。目标是高效求解 \(X\)，尤其适用于右端项相关或矩阵 \(A\) 病态的场景。
解题过程
- 问题形式化
方程组写为：
\[ A \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_s \end{bmatrix}, \]
其中 \(x_i, b_i \in \mathbb{R}^n\)。若右端项 \(b_i\) 相关（例如来自同一物理过程），分块方法通过共享Krylov子空间减少迭代次数。
- 分块预处理共轭梯度法步骤
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初始化：
设 \(X_0\) 为初始猜测（常取零矩阵），计算初始残差 \(R_0 = B - A X_0\)。
选择预处理子 \(M \approx A^{-1}\)（例如分块对角预处理或不完全Cholesky分解），并计算预处理残差 \(Z_0 = M R_0\)。
设初始搜索方向 \(P_0 = Z_0\)。 -
迭代过程（对 \(k = 0, 1, \dots\) 直至收敛）：
a. 矩阵-块乘积：计算 \(A P_k\)，其中 \(P_k \in \mathbb{R}^{n \times s}\) 为搜索方向块。
b. 步长计算：求解 \(\alpha_k \in \mathbb{R}^{s \times s}\) 使得残差正交：
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\[ \alpha_k = (P_k^\top A P_k)^{-1} (R_k^\top Z_k). \]
这里 $ P_k^\top A P_k $ 和 $ R_k^\top Z_k $ 均为 $ s \times s $ 矩阵，需显式求逆（当 $ s $ 较小时可行）。
c. **更新解和残差**：
\[ X_{k+1} = X_k + P_k \alpha_k, \quad R_{k+1} = R_k - A P_k \alpha_k. \]
d. **预处理残差**：计算 $ Z_{k+1} = M R_{k+1} $。
e. **搜索方向更新**：求解 $ \beta_k \in \mathbb{R}^{s \times s} $：
\[ \beta_k = (R_k^\top Z_k)^{-1} (R_{k+1}^\top Z_{k+1}), \]
更新搜索方向块：
\[ P_{k+1} = Z_{k+1} + P_k \beta_k. \]
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收敛性与预处理技术
- 收敛条件基于残差范数 \(\| R_{k+1} \|_F\)（Frobenius范数）小于阈值。
- 预处理子 \(M\) 是关键：若 \(M\) 接近 \(A^{-1}\)，特征值聚集加速收敛。常用分块对角预处理（取 \(A\) 的块对角部分）或分块不完全Cholesky分解（尤其当 \(A\) 为分块稀疏矩阵时）。
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复杂度与优势
- 每步迭代需 \(O(n^2 s)\) 浮点运算（主要来自 \(A P_k\)），但通过分块处理减少总迭代次数。
- 相比逐解每个右端项，分块PCG利用右端项相关性，共享Krylov子空间，降低总体计算量。
总结
分块预处理共轭梯度法通过同时处理多重右端项和有效预处理，在求解对称正定多重线性方程组时显著提升效率，特别适用于大规模科学计算问题。