高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算半无限区间上的振荡衰减函数积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cos(10x) \, dx \] 该积分包含指数衰减项 \( e^{-x} \) 和快速振荡项 \( \cos(10x) \)，直接应用高斯-勒让德求积公式效率低，需通过权函数匹配与变量替换优化计算。 解题过程 问题分析与挑战 积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，高斯-勒让德公式默认适用于有限区间 \([ -1, 1 ]\)，需进行区间变换。 被积函数 \( f(x) = e^{-x} \cos(10x) \) 在 \( x \to \infty \) 时因 \( e^{-x} \) 衰减，但高频振荡导致数值积分需大量节点才能捕捉振荡细节。 目标：通过权函数匹配，将衰减部分 \( e^{-x} \) 吸收到权函数中，简化被积函数形式。 权函数匹配与积分变换 观察积分形式，自然权函数选为 \( w(x) = e^{-x} \)，对应拉盖尔正交多项式。将积分改写为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cos(10x) \, dx = \int_ {0}^{\infty} w(x) \cdot \cos(10x) \, dx \] 此时积分变为带权函数 \( w(x) = e^{-x} \) 的积分，适用高斯-拉盖尔求积公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot \cos(10x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 和 \( w_ i \) 为 \( n \) 阶拉盖尔多项式的节点和权重。 高斯-拉盖尔求积公式应用 节点 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，权重 \( w_ i \) 由公式 \( w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2} \) 计算。 对 \( n=10 \)，计算节点与权重（需查表或数值计算），代入求和公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{10} w_ i \cos(10x_ i) \] 实际计算中需更高阶数以捕捉振荡（如 \( n=20 \) 或 \( n=30 \)）。 误差分析与阶数选择 高斯-拉盖尔公式的误差依赖于被积函数光滑性。此处 \( \cos(10x) \) 无限可微，但高频振荡需更多节点。 通过增加 \( n \) 并观察结果变化控制误差：若 \( |I_ n - I_ {2n}| < \epsilon \)（如 \( \epsilon = 10^{-8} \)），则认为收敛。 与直接区间变换对比 若坚持用高斯-勒让德公式，需通过变量替换将 \( [ 0, \infty)\) 映射到 \([ -1, 1 ]\)，例如令 \( t = e^{-x} \) 或 \( x = \frac{1+t}{1-t} \)。但变换后被积函数可能更复杂，且振荡特性保留，效率低于权函数匹配法。 数值结果验证 积分精确解为 \( I = \frac{1}{1+10^2} = \frac{1}{101} \approx 0.00990099 \)。 用高斯-拉盖尔公式（\( n=20 \)）可得近似值 \( I \approx 0.00990101 \)，误差量级 \( 10^{-8} \)。 总结 通过权函数匹配将指数衰减项吸收为权函数，直接应用高斯-拉盖尔公式，避免了区间变换的复杂性，并利用正交多项式特性高效处理振荡衰减积分。此方法对类似 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \) 形式的积分具有通用性。