煎饼排序（Pancake Sorting）的进阶优化与最小翻转次数分析 题目描述 煎饼排序是一种通过反复翻转数组前缀来排序的算法。每次操作允许翻转前 k 个元素（k ≤ 数组长度），目标是用最少的翻转次数将数组排序。例如，对 [ 3, 2, 4, 1 ] 排序，一种可能的操作序列是： 翻转前 3 个元素 → [ 4, 2, 3, 1 ] 翻转前 4 个元素 → [ 1, 3, 2, 4 ] 翻转前 2 个元素 → [ 3, 1, 2, 4 ] 翻转前 3 个元素 → [ 2, 1, 3, 4 ] 翻转前 2 个元素 → [ 1, 2, 3, 4 ] 解题过程 问题分析 核心操作是翻转前缀，需利用这一特性逐步将最大值归位。 最小翻转次数是优化目标，但寻找全局最优解是 NP 难问题，需用启发式策略。 基础算法步骤 从数组末尾向前处理，每次将当前未排序部分的最大值移到正确位置： 找到未排序部分的最大值位置 max_idx 。 翻转前 max_idx+1 个元素，将最大值移到数组头部。 翻转整个未排序部分，将最大值移到末尾。 示例 [ 3, 2, 4, 1 ] 的步骤： 未排序部分 [ 3,2,4,1]，最大值 4 在位置 2 → 翻转前 3 个 → [ 4,2,3,1 ]。 翻转前 4 个 → [ 1,3,2,4 ]（4 已归位）。 未排序部分 [ 1,3,2]，最大值 3 在位置 1 → 翻转前 2 个 → [ 3,1,2 ]。 翻转前 3 个 → [ 2,1,3 ]（3 归位）。 重复直到全部有序。 优化策略 减少冗余翻转 ：若最大值已在末尾，跳过当前步骤。 预检查部分有序 ：若剩余部分已有序，提前终止。 动态规划剪枝 ：记录已访问状态，避免重复计算（适用于小规模数组）。 最小翻转次数分析 上界：至多 2n-3 次翻转（n 为数组长度）。 下界：基于相邻元素差异的图模型，但精确最小化需穷举。 实际应用：使用 IDA* 搜索，启发函数设为错误位置对的个数。 复杂度与适用场景 时间复杂度 O(n²)，空间复杂度 O(1)。 适用于翻转操作受限的场景（如煎饼翻转问题），而非通用排序。