非线性规划中的内点反射梯度法进阶题 我将为您讲解非线性规划中的内点反射梯度法。这个算法结合了内点法的约束处理能力和梯度法的简单性，同时加入了反射机制来增强收敛性。 问题描述 考虑标准形式的非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i = 1,2,...,m x ∈ R^n 其中f(x)和g_ i(x)都是连续可微函数。我们需要在满足所有不等式约束的情况下找到目标函数的最小值。 解题过程 第一步：构造障碍函数 内点法的核心思想是将约束问题转化为一系列无约束问题。我们构造障碍函数： B(x, μ) = f(x) - μ × Σ_ {i=1}^m ln(-g_ i(x)) 这里μ > 0是障碍参数。当x接近约束边界时，-g_ i(x)趋近于0，ln(-g_ i(x))会趋向-∞，从而通过障碍项惩罚使迭代点保持在可行域内部。 第二步：计算梯度方向 对于障碍函数B(x, μ)，我们在当前点x_ k计算梯度： ∇B(x_ k, μ) = ∇f(x_ k) - μ × Σ_ {i=1}^m [ ∇g_ i(x_ k)/g_ i(x_ k) ] 这个梯度方向指示了函数值下降最快的方向，但直接沿此方向移动可能会违反约束。 第三步：确定可行步长 我们沿着负梯度方向-d_ k = -∇B(x_ k, μ)进行搜索，但需要确保新点仍在可行域内。步长α_ k通过以下方式确定： α_ k = min{α_ max, γ × dist(x_ k, ∂Ω)} 其中： ∂Ω是可行域边界 dist(x_ k, ∂Ω)是当前点到边界的距离 γ ∈ (0,1)是安全系数 α_ max是最大允许步长 第四步：反射机制 当迭代点接近边界时，标准的梯度下降可能会变得很慢。我们引入反射机制： 首先尝试标准梯度步：x_ {temp} = x_ k - α_ k ∇B(x_ k, μ) 如果x_ {temp}接近边界（即某个g_ i(x_ {temp})接近0），我们计算反射方向： d_ reflect = d_ k - 2(d_ k·n)n 其中n是边界在最近点的单位法向量 沿反射方向进行二次移动：x_ {k+1} = x_ k + β × α_ k × d_ reflect 其中β是反射系数，通常取0.5-0.8 第五步：障碍参数更新 在每次迭代后，我们按几何序列减小障碍参数： μ_ {k+1} = σ × μ_ k 其中σ ∈ (0,1)，典型取值为0.1-0.5。这使障碍函数逐渐逼近原问题。 第六步：收敛判断 算法在满足以下条件时终止： ‖∇B(x_ k, μ_ k)‖ < ε₁ （梯度足够小） μ_ k < ε₂ （障碍参数足够小） |f(x_ k) - f(x_ {k-1})| < ε₃ （函数值变化足够小） 其中ε₁, ε₂, ε₃是预设的容差。 算法优势 始终保持可行性，不需要恢复可行点的额外步骤 反射机制帮助算法沿着边界快速前进 结合了梯度法的简单性和内点法的稳定性 对于中等规模的非线性规划问题具有较好的数值表现 这个方法特别适用于约束条件较多但目标函数相对平滑的优化问题。