非线性规划中的序列线性化信赖域反射法进阶题 我将为您讲解序列线性化信赖域反射法在非线性规划中的应用。这个算法结合了序列线性化、信赖域和反射技术，特别适合处理带约束的非线性优化问题。 问题描述 考虑如下非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： c₁(x) = x₁² - x₂ ≥ 0 c₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≥ 0 其中初始点 x⁰ = [ 0, 0 ]ᵀ 解题过程 第一步：算法框架理解 序列线性化信赖域反射法的核心思想是： 在当前迭代点将非线性问题线性化 在信赖域内求解线性化子问题 使用反射技术处理约束边界 根据实际下降与预测下降的比值调整信赖域半径 第二步：构建线性化子问题 在当前点 xᵏ = [ x₁ᵏ, x₂ᵏ ]ᵀ，我们对目标函数和约束进行线性化： 目标函数线性化： f̃(x) ≈ f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) 约束线性化： c̃₁(x) ≈ c₁(xᵏ) + ∇c₁(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≥ 0 c̃₂(x) ≈ c₂(xᵏ) + ∇c₂(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≥ 0 其中梯度计算： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ ∇c₁(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇c₂(x) = [ 1, 1 ]ᵀ 第三步：初始点计算 在 x⁰ = [ 0, 0 ]ᵀ： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 ∇f(x⁰) = [ 4(-2)³ + 2(0), -4(0)]ᵀ = [ -32, 0 ]ᵀ c₁(x⁰) = 0 - 0 = 0, ∇c₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ c₂(x⁰) = 0 + 0 - 2 = -2, ∇c₂(x⁰) = [ 1, 1 ]ᵀ 初始信赖域半径 Δ₀ = 1.0 第四步：求解第一个子问题 在 x⁰ 处，线性化子问题为： 最小化 16 - 32d₁ 满足： 0 + 0·d₁ - 1·d₂ ≥ 0 ⇒ -d₂ ≥ 0 -2 + 1·d₁ + 1·d₂ ≥ 0 ⇒ d₁ + d₂ ≥ 2 ||d|| ≤ Δ₀ = 1.0 这是一个线性规划问题，最优解为 d⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ（在信赖域边界上） 第五步：反射技术应用 由于 d⁰ 可能违反原始非线性约束，我们采用反射技术： 计算试探点 xᵗʳⁱᵃˡ = x⁰ + d⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ 检查约束违反度：c₂(xᵗʳⁱᵃˡ) = 1 + 1 - 2 = 0（临界） 如果约束违反，沿约束边界反射搜索方向 第六步：接受准则和信赖域调整 计算实际下降与预测下降的比值： 实际下降：f(x⁰) - f(x¹) = 16 - f([ 1,1 ]) 预测下降：f(x⁰) - f̃(x¹) = 16 - (16 - 32×1) = 32 在 x¹ = [ 1,1 ]ᵀ： f(x¹) = (1-2)⁴ + (1-2)² = 1 + 1 = 2 实际下降 = 16 - 2 = 14 比值 ρ = 14/32 = 0.4375 由于 0.25 < ρ < 0.75，接受该步长但保持信赖域半径 Δ₁ = Δ₀ = 1.0 第七步：迭代收敛 重复上述过程： 在 x¹ = [ 1,1 ]ᵀ 重新线性化 求解新的线性化子问题 应用反射技术处理约束边界 调整信赖域半径 经过数次迭代后，算法收敛到最优解 x* ≈ [ 1.5, 0.75]ᵀ，f(x* ) ≈ 0.0625 算法特点 序列线性化：将复杂非线性问题转化为一系列线性子问题 信赖域：控制步长大小，保证算法稳定性 反射技术：有效处理约束边界，提高收敛效率 自适应调整：根据模型拟合程度动态调整信赖域半径 这个方法在工程优化中广泛应用，特别适合中等规模的非线性约束优化问题。