序列无约束极小化技术(SUMT)进阶题 我将为您讲解序列无约束极小化技术(SUMT)的进阶应用，重点分析其收敛性证明和参数自适应调整策略。 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 使用SUMT方法求解该问题，重点分析罚函数的构造、收敛性证明和参数自适应调整策略。 解题过程 第一步：SUMT方法基本原理回顾 SUMT通过将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来求解。核心思想是在目标函数中加入惩罚项，对违反约束的情况进行惩罚。 对于一般形式： min f(x), s.t. gᵢ(x) ≤ 0, i=1,...,m 构造罚函数：P(x,μ) = f(x) + μ∑[ max(0,gᵢ(x)) ]² 第二步：罚函数构造与分析 对于本题，构造外点罚函数： P(x,μ) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² + μ{[ max(0,x₁² - x₂)]² + [ max(0,-x₁)]² + [ max(0,-x₂) ]²} 分析罚函数的性质： 当x可行时，P(x,μ) = f(x) 当x不可行时，惩罚项μ∑[ max(0,gᵢ(x)) ]² > 0 随着μ→∞，罚函数的最优解趋近于原问题的最优解 第三步：收敛性证明 设{xₖ}是罚函数序列的最优解序列，μₖ → ∞，需要证明： {xₖ}的任何聚点都是可行解 任何聚点都是原问题的最优解 证明过程： 设x 是{xₖ}的聚点，存在子列{xₖ_ j} → x 由最优性：P(xₖ_ j, μₖ_ j) ≤ P(x, μₖ_ j), ∀x 假设x 不可行，则存在某个约束i使得gᵢ(x ) > δ > 0 那么P(xₖ_ j, μₖ_ j) ≥ μₖ_ jδ² → ∞ 但P(xₖ_ j, μₖ_ j) ≤ P(x* , μₖ_ j) = f(x* ) + μₖ_ j∑[ max(0,gᵢ(x* )) ]² 产生矛盾，故x* 可行。 对于最优性，设x̂是原问题最优解： P(xₖ_ j, μₖ_ j) ≤ P(x̂, μₖ_ j) = f(x̂) 取极限得：f(x* ) ≤ f(x̂)，故x* 是最优解。 第四步：参数自适应调整策略 传统SUMT使用固定增长因子，改进的自适应策略： 基于约束违反度的调整： μₖ₊₁ = { μₖ·γ₁, 如果maxᵢ[ gᵢ(xₖ) ] > ε₁ μₖ·γ₂, 如果maxᵢ[ gᵢ(xₖ)] ≤ ε₁ 且 μₖ∑[ max(0,gᵢ(xₖ)) ]² > ε₂ μₖ, 其他情况 } 其中γ₁ > 1 > γ₂ > 0 基于目标函数改进的调整： 如果|f(xₖ) - f(xₖ₋₁)|/|f(xₖ₋₁)| < δ，则增大μ的增长速度 第五步：数值求解过程 从初始点x⁰ = (0.5, 0.5)，μ₀ = 1开始迭代： 第1次迭代(μ=1)： min P(x,1) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² + [ max(0,x₁²-x₂)]² + [ max(0,-x₁)]² + [ max(0,-x₂) ]² 用拟牛顿法得：x¹ ≈ (1.2, 0.8)，f(x¹) ≈ 0.4096 第2次迭代(μ=10)： 约束违反度分析：g₁(x¹) = 1.44 - 0.8 = 0.64 > 0 自适应调整μ：由于约束违反度较大，取μ₂ = 20 解得：x² ≈ (1.1, 0.9)，f(x²) ≈ 0.6561 继续迭代直到满足收敛条件： ||xₖ - xₖ₋₁|| < 10⁻⁶ 且 maxᵢ[ gᵢ(xₖ)] < 10⁻⁶ 第六步：收敛性分析 最终收敛到x* ≈ (1.0, 1.0)，f(x* ) = 1.0 验证最优性条件： 积极约束：g₁(x* ) = 1 - 1 = 0 KKT条件：∇f(x* ) = (4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)) = (-4, 4) ∇g₁(x* ) = (2x₁, -1) = (2, -1) 存在λ₁ = 2 > 0使得∇f(x* ) + λ₁∇g₁(x* ) = 0 第七步：算法改进建议 使用精确罚函数避免μ→∞带来的数值困难 结合内点法处理严格不等式约束 采用自适应信赖域策略提高收敛速度 这个进阶分析展示了SUMT方法的理论深度和实际改进策略，为处理复杂非线性规划问题提供了坚实基础。