深度学习中的优化器之SGD with Gradient Projection（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节

题目描述：
在深度学习中，当模型参数需要满足特定约束条件（如非负性、范数界限等）时，标准SGD无法保证优化后的参数仍落在可行域内。SGD with Gradient Projection通过在参数更新后增加投影步骤，将参数映射回约束集合，确保优化过程始终满足约束条件。该算法广泛应用于稀疏学习、矩阵分解等场景。

解题过程：

1. 问题建模
   考虑带约束的优化问题：
   min f(θ)，s.t. θ ∈ C
   其中f(θ)是损失函数，C是约束集合（如θ ≥ 0，||θ|| ≤ 1等）。标准SGD更新θ ← θ - η∇f(θ)可能使θ超出C。

2. 投影操作定义
   定义投影算子P_C：将任意点映射到C中最近的点：
   P_C(z) = argmin_{θ∈C} ||θ - z||²
   该操作找到C中与z欧氏距离最小的点。

3. 算法步骤
   a. 初始化参数θ₀ ∈ C
   b. 对于每个迭代t=1,2,...：

   • 采样小批量数据，计算梯度g_t = ∇f_t(θ_{t-1})
   • 执行参数更新：θ_t' = θ_{t-1} - η_t g_t
   • 执行投影：θ_t = P_C(θ_t')
     其中η_t是学习率。

4. 投影计算示例
   a. 非负约束（C={θ|θ≥0}）：
   P_C(z) = max(z, 0) # 逐元素取最大值
   b. L2球约束（C={θ|||θ||₂≤r}）：
   P_C(z) = z * min(1, r/||z||₂) # 缩放至球内
   c. 简单集合（如区间约束）：
   P_C(z) = clip(z, a, b) # 裁剪到[a,b]区间

5. 收敛性分析
   在凸问题中，该算法保持与SGD相同的O(1/√T)收敛速率。关键性质：
   ||P_C(u) - P_C(v)|| ≤ ||u - v||（非扩张性）
   且投影操作不会引入额外误差。

6. 实现细节

   import torch
   
   def projected_sgd(params, lr, constraint_type, constraint_val=None):
       with torch.no_grad():
           for param in params:
               # SGD更新
               param -= lr * param.grad
   
               # 投影操作
               if constraint_type == "nonneg":
                   param.clamp_(min=0)
               elif constraint_type == "l2_ball":
                   norm = param.norm()
                   if norm > constraint_val:
                       param *= constraint_val / norm
               elif constraint_type == "interval":
                   param.clamp_(min=constraint_val[0], max=constraint_val[1])
           param.grad.zero_()
   

7. 实际应用

   • 非负矩阵分解：确保基矩阵和系数矩阵非负
   • 稀疏编码：通过L1球约束促进稀疏性
   • 物理约束问题：如概率 simplex 约束（所有元素和为1且非负）

该算法通过简单的投影步骤，使SGD能够处理各种约束优化问题，是约束深度学习模型的重要基础工具。