高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧
问题描述
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(5x)}{\sqrt{1-x^2}} e^{-x^2} \, dx \]
该积分包含振荡函数 \(\cos(5x)\)、衰减函数 \(e^{-x^2}\) 及权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。直接应用高斯-切比雪夫公式（仅处理权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\)) 无法直接处理 \(e^{-x^2}\) 的衰减特性，需通过变量替换将问题转化为标准高斯-切比雪夫形式。
解题步骤
1. 分析积分结构
原积分为：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx, \quad f(x) = \cos(5x) e^{-x^2} \]
高斯-切比雪夫公式适用于形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分，但 \(f(x)\) 中的 \(e^{-x^2}\) 导致被积函数不纯为多项式。若直接使用 \(n\) 个节点的高斯-切比雪夫公式，误差可能较大，因为 \(e^{-x^2}\) 在 \([-1,1]\) 外仍有贡献，而标准公式未考虑区间外的衰减。
2. 变量替换策略
引入变量替换 \(x = \tanh(t)\)，理由如下：
- \(\tanh(t)\) 将实数轴 \((-\infty, +\infty)\) 映射到 \((-1, 1)\)，且导数 \(\frac{dx}{dt} = \text{sech}^2(t)\)。
- 替换后，权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 转化为：
\[ \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(t)}} = \cosh(t) \]
- 积分变为：
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(5\tanh(t)) e^{-\tanh^2(t)} \cdot \cosh(t) \cdot \text{sech}^2(t) \, dt \]
化简被积函数：
\[ \cosh(t) \cdot \text{sech}^2(t) = \text{sech}(t) \]
因此：
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(5\tanh(t)) e^{-\tanh^2(t)} \text{sech}(t) \, dt \]
3. 处理衰减与振荡
新积分形式为：
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \, dt, \quad h(t) = \cos(5\tanh(t)) e^{-\tanh^2(t)} \text{sech}(t) \]
函数 \(h(t)\) 的特性：
- 当 \(t \to \pm\infty\) 时，\(\text{sech}(t) \sim 2e^{-|t|}\)，且 \(e^{-\tanh^2(t)} \to e^{-1}\)，因此 \(h(t)\) 以指数速率衰减。
- 振荡部分 \(\cos(5\tanh(t))\) 在 \(t\) 接近零时变化最快，对应原积分中 \(x\) 在 \([-1,1]\) 中心的振荡。
由于积分区间变为 \((-\infty, \infty)\)，可考虑使用高斯-埃尔米特求积公式（权函数 \(e^{-t^2}\))，但当前权函数为 \(\text{sech}(t)\)，不匹配。需进一步调整。
4. 二次变量替换
令 \(u = \sinh(t)\)，则：
- \(du = \cosh(t) \, dt\)，即 \(dt = \frac{du}{\cosh(t)} = \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}\)。
- \(\text{sech}(t) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\)，\(\tanh(t) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\)。
积分变为：
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} \cos\left(5 \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right) \exp\left(-\frac{u^2}{1+u^2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \, du \]
即：
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos\left(5 \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right) \exp\left(-\frac{u^2}{1+u^2}\right)}{1+u^2} \, du \]
5. 应用高斯-有理求积公式
积分形式为 \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k(u)}{1+u^2} \, du\)，符合高斯-有理求积公式的权函数 \(\frac{1}{1+u^2}\)。该公式的节点和权重可通过切比雪夫多项式的有理变换得到，但更实用的方法是：
- 使用变量替换 \(u = \cot(\theta)\)，将积分化为标准形式：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos\left(5 \cos(\theta)\right) e^{-\cos^2(\theta)} \, d\theta \]
推导过程：
- 令 \(u = \cot(\theta)\)，则 \(du = -\csc^2(\theta) d\theta\)，且 \(1+u^2 = \csc^2(\theta)\)。
- 当 \(u: -\infty \to \infty\)，\(\theta: \pi \to 0\)，因此：
\[ I = \int_{\pi}^{0} k(u) \cdot (1+u^2) \cdot (-\csc^2(\theta) d\theta) = \int_{0}^{\pi} k(u) \, d\theta \]
其中 $k(u) = \cos\left(5 \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right) \exp\left(-\frac{u^2}{1+u^2}\right)$。
- 代入 \(u = \cot(\theta)\)：
\(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} = \cos(\theta)\)，\(\frac{u^2}{1+u^2} = \cos^2(\theta)\)。
因此：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(5\cos(\theta)) e^{-\cos^2(\theta)} \, d\theta \]
6. 最终求积计算
积分 \(I = \int_{0}^{\pi} F(\theta) \, d\theta\)，其中 \(F(\theta) = \cos(5\cos(\theta)) e^{-\cos^2(\theta)}\) 是光滑函数。
- 使用复合辛普森公式或高斯-勒让德公式在 \([0, \pi]\) 上计算。
- 由于 \(F(\theta)\) 在端点非周期性，高斯-勒让德公式更合适。
- 选择 \(n\) 个节点的高斯-勒让德公式：
\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i F\left( \frac{\pi}{2}(1 + t_i) \right) \]
其中 \(t_i\) 和 \(w_i\) 是 \([-1,1]\) 上的标准高斯-勒让德节点和权重，通过线性变换映射到 \([0,\pi]\)。
总结
通过变量替换 \(x = \tanh(t)\) 和 \(u = \cot(\theta)\)，将原带振荡衰减的积分转化为有限区间上的标准积分，避免了直接处理奇异权和振荡衰减的困难。最终应用高斯-勒让德公式可高效计算数值结果。此方法体现了变量替换在简化积分结构、匹配求积公式权函数中的关键作用。