最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组
字数 2276 2025-11-14 14:27:10

最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组

题目描述：
给定一个整数数组 arr，我们可以选择翻转任意一个连续子数组（将子数组的元素顺序完全颠倒），然后找出最长的"湍流子数组"的长度。湍流子数组的定义是：相邻元素的比较符号在子数组中不断翻转（即 >、<、>、<... 交替出现）。形式化地说，如果对于每个索引 i（子数组内，除了最后一个元素），都有：
arr[i] > arr[i+1] 且 arr[i+1] < arr[i+2]
或者
arr[i] < arr[i+1] 且 arr[i+1] > arr[i+2]
那么该子数组是湍流的。

解题过程：

步骤1：理解基础问题
首先，我们需要理解什么是湍流子数组。在一个湍流子数组中，相邻元素的大小关系必须交替变化。例如，对于数组 [9,4,2,10,7,8,8,1,9]，最长的湍流子数组是 [4,2,10,7,8,1,9]，长度为 7。

步骤2：基础湍流子数组的解法
在没有翻转操作的情况下，我们可以使用动态规划来解决最长湍流子数组问题。我们定义两个状态数组：

  • up[i]：以第 i 个元素结尾，并且 arr[i] > arr[i-1] 的最长湍流子数组长度
  • down[i]：以第 i 个元素结尾，并且 arr[i] < arr[i-1] 的最长湍流子数组长度

状态转移方程为：

  • 如果 arr[i] > arr[i-1]，则 up[i] = down[i-1] + 1，down[i] = 1
  • 如果 arr[i] < arr[i-1]，则 down[i] = up[i-1] + 1，up[i] = 1
  • 如果 arr[i] == arr[i-1]，则 up[i] = down[i] = 1

步骤3：考虑翻转操作的影响
现在考虑我们可以翻转任意一个连续子数组。翻转操作会改变子数组内元素的相对顺序，这可能会创造更长的湍流子数组。

关键观察：

  1. 翻转操作只会影响翻转区间内的元素顺序，以及翻转区间边界与外部元素的连接关系
  2. 翻转后，原本在翻转区间内的湍流模式会被完全改变
  3. 我们需要考虑翻转区间如何与左右两侧的原始湍流模式连接

步骤4：问题分解
我们可以将问题分解为几个部分：

  1. 计算从左到右的湍流模式（正序）
  2. 计算从右到左的湍流模式（逆序）
  3. 考虑翻转区间如何连接左右两侧的湍流模式

步骤5：预处理数组
定义以下预处理数组：

  • left_up[i]：从左边开始，以 i 结尾且 arr[i] > arr[i-1] 的最长湍流长度
  • left_down[i]：从左边开始，以 i 结尾且 arr[i] < arr[i-1] 的最长湍流长度
  • right_up[i]：从右边开始，以 i 开头且 arr[i] > arr[i+1] 的最长湍流长度
  • right_down[i]：从右边开始，以 i 开头且 arr[i] < arr[i+1] 的最长湍流长度

步骤6：考虑翻转区间
当我们翻转区间 [l, r] 时：

  1. 翻转区间内部：原本的湍流模式会被完全改变，我们需要计算翻转后的湍流模式
  2. 翻转区间边界：我们需要检查翻转后的区间能否与左右两侧的原始湍流模式连接

具体来说，对于翻转区间 [l, r]：

  • 如果 l > 0，我们需要检查 arr[r] 和 arr[l-1] 的关系
  • 如果 r < n-1，我们需要检查 arr[l] 和 arr[r+1] 的关系

步骤7：动态规划求解
我们可以使用动态规划来考虑所有可能的翻转区间：

定义状态：

  • dp_left[i]：考虑前 i 个元素，不使用翻转操作的最长湍流子数组长度
  • dp_flip_start[i]：以 i 作为翻转区间起点时的最优解
  • dp_flip_end[i]：以 i 作为翻转区间终点时的最优解

状态转移：

  1. 首先计算不使用翻转的基础情况（即原始的最长湍流子数组）
  2. 然后考虑翻转一个区间的情况：
    • 对于每个可能的翻转区间 [l, r]，计算翻转后能形成的最长湍流子数组
    • 这需要考虑翻转区间左侧、翻转区间内部、翻转区间右侧三部分的连接

步骤8：具体实现细节

  1. 预处理四个数组：left_up, left_down, right_up, right_down
  2. 计算不使用翻转的最长湍流子数组长度 base_ans
  3. 对于每个可能的分割点 i（考虑在 i 和 i+1 之间进行分割）：
    • 检查左侧以 i 结尾的湍流模式与右侧从 i+1 开始的湍流模式是否能连接
    • 如果能连接，更新答案
  4. 对于每个可能的翻转区间 [l, r]：
    • 计算翻转区间内部的湍流模式
    • 检查翻转区间左侧与翻转后区间左端点的连接
    • 检查翻转区间右侧与翻转后区间右端点的连接
    • 更新全局最优解

步骤9：边界情况处理

  • 数组长度小于等于2的情况需要特殊处理
  • 数组中存在相等元素的情况需要正确处理
  • 翻转区间为空或为整个数组的情况需要考虑

步骤10：时间复杂度优化
直接枚举所有可能的翻转区间 [l, r] 是 O(n²) 的，对于大规模数组可能不够高效。我们可以通过预处理和动态规划将复杂度优化到 O(n)：

  • 预处理所有必要的湍流模式信息
  • 使用动态规划一次性计算所有可能的连接情况

最终，我们通过综合考虑不使用翻转和使用一次翻转的情况，取最大值作为答案。这个算法能够高效地找到在最多翻转一个子数组的条件下的最长湍流子数组长度。

最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组 题目描述： 给定一个整数数组 arr，我们可以选择翻转任意一个连续子数组（将子数组的元素顺序完全颠倒），然后找出最长的"湍流子数组"的长度。湍流子数组的定义是：相邻元素的比较符号在子数组中不断翻转（即 >、<、>、 <... 交替出现）。形式化地说，如果对于每个索引 i（子数组内，除了最后一个元素），都有： arr[ i] > arr[ i+1] 且 arr[ i+1] < arr[ i+2 ] 或者 arr[ i] < arr[ i+1] 且 arr[ i+1] > arr[ i+2 ] 那么该子数组是湍流的。 解题过程： 步骤1：理解基础问题 首先，我们需要理解什么是湍流子数组。在一个湍流子数组中，相邻元素的大小关系必须交替变化。例如，对于数组 [ 9,4,2,10,7,8,8,1,9]，最长的湍流子数组是 [ 4,2,10,7,8,1,9 ]，长度为 7。 步骤2：基础湍流子数组的解法 在没有翻转操作的情况下，我们可以使用动态规划来解决最长湍流子数组问题。我们定义两个状态数组： up[ i]：以第 i 个元素结尾，并且 arr[ i] > arr[ i-1 ] 的最长湍流子数组长度 down[ i]：以第 i 个元素结尾，并且 arr[ i] < arr[ i-1 ] 的最长湍流子数组长度 状态转移方程为： 如果 arr[ i] > arr[ i-1]，则 up[ i] = down[ i-1] + 1，down[ i ] = 1 如果 arr[ i] < arr[ i-1]，则 down[ i] = up[ i-1] + 1，up[ i ] = 1 如果 arr[ i] == arr[ i-1]，则 up[ i] = down[ i ] = 1 步骤3：考虑翻转操作的影响 现在考虑我们可以翻转任意一个连续子数组。翻转操作会改变子数组内元素的相对顺序，这可能会创造更长的湍流子数组。 关键观察： 翻转操作只会影响翻转区间内的元素顺序，以及翻转区间边界与外部元素的连接关系 翻转后，原本在翻转区间内的湍流模式会被完全改变 我们需要考虑翻转区间如何与左右两侧的原始湍流模式连接 步骤4：问题分解 我们可以将问题分解为几个部分： 计算从左到右的湍流模式（正序） 计算从右到左的湍流模式（逆序） 考虑翻转区间如何连接左右两侧的湍流模式 步骤5：预处理数组 定义以下预处理数组： left_ up[ i]：从左边开始，以 i 结尾且 arr[ i] > arr[ i-1 ] 的最长湍流长度 left_ down[ i]：从左边开始，以 i 结尾且 arr[ i] < arr[ i-1 ] 的最长湍流长度 right_ up[ i]：从右边开始，以 i 开头且 arr[ i] > arr[ i+1 ] 的最长湍流长度 right_ down[ i]：从右边开始，以 i 开头且 arr[ i] < arr[ i+1 ] 的最长湍流长度 步骤6：考虑翻转区间 当我们翻转区间 [ l, r ] 时： 翻转区间内部：原本的湍流模式会被完全改变，我们需要计算翻转后的湍流模式 翻转区间边界：我们需要检查翻转后的区间能否与左右两侧的原始湍流模式连接 具体来说，对于翻转区间 [ l, r ]： 如果 l > 0，我们需要检查 arr[ r] 和 arr[ l-1 ] 的关系 如果 r < n-1，我们需要检查 arr[ l] 和 arr[ r+1 ] 的关系 步骤7：动态规划求解 我们可以使用动态规划来考虑所有可能的翻转区间： 定义状态： dp_ left[ i ]：考虑前 i 个元素，不使用翻转操作的最长湍流子数组长度 dp_ flip_ start[ i ]：以 i 作为翻转区间起点时的最优解 dp_ flip_ end[ i ]：以 i 作为翻转区间终点时的最优解 状态转移： 首先计算不使用翻转的基础情况（即原始的最长湍流子数组） 然后考虑翻转一个区间的情况： 对于每个可能的翻转区间 [ l, r ]，计算翻转后能形成的最长湍流子数组 这需要考虑翻转区间左侧、翻转区间内部、翻转区间右侧三部分的连接 步骤8：具体实现细节 预处理四个数组：left_ up, left_ down, right_ up, right_ down 计算不使用翻转的最长湍流子数组长度 base_ ans 对于每个可能的分割点 i（考虑在 i 和 i+1 之间进行分割）： 检查左侧以 i 结尾的湍流模式与右侧从 i+1 开始的湍流模式是否能连接 如果能连接，更新答案 对于每个可能的翻转区间 [ l, r ]： 计算翻转区间内部的湍流模式 检查翻转区间左侧与翻转后区间左端点的连接 检查翻转区间右侧与翻转后区间右端点的连接 更新全局最优解 步骤9：边界情况处理 数组长度小于等于2的情况需要特殊处理 数组中存在相等元素的情况需要正确处理 翻转区间为空或为整个数组的情况需要考虑 步骤10：时间复杂度优化 直接枚举所有可能的翻转区间 [ l, r ] 是 O(n²) 的，对于大规模数组可能不够高效。我们可以通过预处理和动态规划将复杂度优化到 O(n)： 预处理所有必要的湍流模式信息 使用动态规划一次性计算所有可能的连接情况 最终，我们通过综合考虑不使用翻转和使用一次翻转的情况，取最大值作为答案。这个算法能够高效地找到在最多翻转一个子数组的条件下的最长湍流子数组长度。