非线性规划中的序列线性化信赖域反射法基础题 我将为您讲解非线性规划中的序列线性化信赖域反射法。这个方法结合了序列线性化、信赖域和反射技术，特别适合处理带约束的非线性优化问题。 题目描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： c₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 c₂(x) = -x₁ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 解题过程讲解 第一步：问题分析与线性化 首先分析目标函数和约束条件。目标函数f(x)是四阶多项式，约束条件包含二次函数和线性函数。 序列线性化信赖域反射法的核心思想是：在每次迭代中，在当前点xᵏ处对目标函数和约束条件进行线性化近似。 在点xᵏ处，我们构造线性化子问题： 最小化 ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd 满足约束： ∇cᵢ(xᵏ)ᵀd + cᵢ(xᵏ) ≤ 0, i=1,2 ‖d‖ ≤ Δᵏ 其中Bᵏ是Hessian矩阵的近似，Δᵏ是信赖域半径。 第二步：初始点计算 从初始点x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ开始计算： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20 ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ ∇f(x⁰) = [ 4(-2)³ + 2(-2), -4(-2)]ᵀ = [ -32-4, 8]ᵀ = [ -36, 8 ]ᵀ 约束函数值： c₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0 c₂(x⁰) = -0 = 0 ≤ 0 约束梯度： ∇c₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ, ∇c₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ ∇c₂(x) = [ -1, 0]ᵀ, ∇c₂(x⁰) = [ -1, 0 ]ᵀ 第三步：构建第一个子问题 在x⁰处，我们构建如下信赖域子问题： 最小化 [ -36, 8 ]d + ½dᵀB⁰d 满足约束： [ 0, -1 ]d - 1 ≤ 0 [ -1, 0 ]d + 0 ≤ 0 ‖d‖ ≤ Δ⁰ 设初始信赖域半径Δ⁰ = 1，初始Hessian近似B⁰ = I（单位矩阵）。 第四步：求解子问题 子问题变为： 最小化 -36d₁ + 8d₂ + ½(d₁² + d₂²) 满足约束： -d₂ - 1 ≤ 0 ⇒ d₂ ≥ -1 -d₁ ≤ 0 ⇒ d₁ ≥ 0 d₁² + d₂² ≤ 1 这是一个带线性约束的二次规划问题。通过KKT条件求解，得到搜索方向d⁰。 第五步：反射技术应用 当搜索方向遇到信赖域边界时，采用反射技术： 如果d达到信赖域边界，计算反射方向d_ ref = d - 2(n·d)n 其中n是边界法向量，确保搜索方向在可行域内。 第六步：接受性检验与信赖域更新 计算实际下降量：Δf_ actual = f(xᵏ) - f(xᵏ + d) 预测下降量：Δf_ predicted = -[ ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd ] 比值ρ = Δf_ actual / Δf_ predicted 根据ρ值更新信赖域半径： 如果ρ > 0.75，扩大信赖域：Δᵏ⁺¹ = min(2Δᵏ, Δ_ max) 如果0.1 ≤ ρ ≤ 0.75，保持信赖域：Δᵏ⁺¹ = Δᵏ 如果ρ < 0.1，缩小信赖域：Δᵏ⁺¹ = 0.5Δᵏ 第七步：Hessian矩阵更新 使用BFGS公式更新Hessian近似： Bᵏ⁺¹ = Bᵏ - (Bᵏs)(Bᵏs)ᵀ/(sᵀBᵏs) + (y yᵀ)/(yᵀs) 其中s = xᵏ⁺¹ - xᵏ, y = ∇f(xᵏ⁺¹) - ∇f(xᵏ) 第八步：收敛性判断 重复迭代过程，直到满足收敛条件： ‖∇f(xᵏ) + ∑λᵢ∇cᵢ(xᵏ)‖ ≤ ε₁ |cᵢ(xᵏ)| ≤ ε₂, 对于积极约束 ‖xᵏ - xᵏ⁻¹‖ ≤ ε₃ 其中ε₁, ε₂, ε₃是预设的容差。 方法优势 序列线性化信赖域反射法结合了序列线性化的计算效率、信赖域的全局收敛性和反射技术的可行性保持，特别适合处理中等规模的非线性约束优化问题。