高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧
字数 1766 2025-11-14 11:59:13

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（即函数值趋于无穷），但 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 1]\) 上光滑。高斯-切比雪夫求积公式通过权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 匹配端点奇异性，将积分转化为带权积分的高精度计算问题。

解题步骤

  1. 问题分析与权函数选择

    • 积分核 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处发散，但若 \(f(x)\) 光滑，则积分本身可能收敛。
    • 高斯-切比雪夫求积公式的权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 与积分核一致，可自然消除奇异性对数值计算的影响。

  2. 高斯-切比雪夫求积公式的构造

    • 公式形式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) \]

 其中节点 $x_k$ 是 $n$ 阶切比雪夫多项式 $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$ 的零点：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n \]

 权重 $w_k = \frac{\pi}{n}$ 为常数。

  1. 权函数匹配原理

    • 通过权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 将奇异性吸收到求积公式的权重中，使得剩余部分 \(f(x)\) 可用多项式高精度逼近。
    • 若 \(f(x)\) 是 \(2n-1\) 次多项式，则求积公式结果精确。

  2. 计算步骤

    • 步骤1：确定节点数 \(n\)，根据精度要求选择（例如 \(n=10\)）。
    • 步骤2：计算节点 \(x_k\) 和权重 \(w_k\)：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad w_k = \frac{\pi}{n} \]

  • 步骤3：计算 \(f(x_k)\) 在节点处的函数值。
  • 步骤4：按公式求和：

\[ I_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n} f(x_k) \]

  1. 实例演示
    设 \(f(x) = e^x\)，计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。
    • 取 \(n=3\)，节点为：

\[ x_1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

  • 权重均为 \(w_k = \frac{\pi}{3}\)。
  • 求和：

\[ I_3 = \frac{\pi}{3} \left( e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + e^{0} + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \approx 3.977 \]

 与精确解 $I = \pi I_0(1) \approx 3.9775$（$I_0$ 为修正贝塞尔函数）高度一致。
  1. 误差与收敛性
    • 若 \(f(x)\) 是 \(m\) 次多项式，则当 \(n > \frac{m}{2}\) 时公式精确。
    • 对于非多项式 \(f(x)\)，误差随 \(n\) 增大而指数衰减（若 \(f(x)\) 解析）。

总结
通过权函数匹配积分核的奇异性，高斯-切比雪夫公式将奇异积分转化为光滑函数在特定节点上的加权和，避免直接处理端点发散问题，显著提升计算精度与稳定性。

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（即函数值趋于无穷），但 \(f(x)\) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上光滑。高斯-切比雪夫求积公式通过权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 匹配端点奇异性，将积分转化为带权积分的高精度计算问题。 解题步骤 问题分析与权函数选择 积分核 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处发散，但若 \(f(x)\) 光滑，则积分本身可能收敛。 高斯-切比雪夫求积公式的权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 与积分核一致，可自然消除奇异性对数值计算的影响。 高斯-切比雪夫求积公式的构造 公式形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 其中节点 \(x_ k\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n \] 权重 \(w_ k = \frac{\pi}{n}\) 为常数。 权函数匹配原理 通过权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 将奇异性吸收到求积公式的权重中，使得剩余部分 \(f(x)\) 可用多项式高精度逼近。 若 \(f(x)\) 是 \(2n-1\) 次多项式，则求积公式结果精确。 计算步骤 步骤1 ：确定节点数 \(n\)，根据精度要求选择（例如 \(n=10\)）。 步骤2 ：计算节点 \(x_ k\) 和权重 \(w_ k\)： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad w_ k = \frac{\pi}{n} \] 步骤3 ：计算 \(f(x_ k)\) 在节点处的函数值。 步骤4 ：按公式求和： \[ I_ n = \sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n} f(x_ k) \] 实例演示 设 \(f(x) = e^x\)，计算 \(I = \int_ {-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。 取 \(n=3\)，节点为： \[ x_ 1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_ 2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 权重均为 \(w_ k = \frac{\pi}{3}\)。 求和： \[ I_ 3 = \frac{\pi}{3} \left( e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + e^{0} + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \approx 3.977 \] 与精确解 \(I = \pi I_ 0(1) \approx 3.9775\)（\(I_ 0\) 为修正贝塞尔函数）高度一致。 误差与收敛性 若 \(f(x)\) 是 \(m\) 次多项式，则当 \(n > \frac{m}{2}\) 时公式精确。 对于非多项式 \(f(x)\)，误差随 \(n\) 增大而指数衰减（若 \(f(x)\) 解析）。 总结 通过权函数匹配积分核的奇异性，高斯-切比雪夫公式将奇异积分转化为光滑函数在特定节点上的加权和，避免直接处理端点发散问题，显著提升计算精度与稳定性。