并行与分布式系统中的并行矩阵乘法：Fox算法

题目描述
Fox算法是一种基于网格划分的并行矩阵乘法算法，适用于分布式内存系统。假设有两个N×N的矩阵A和B，需要计算它们的乘积C = A × B。该算法将矩阵划分为大小相等的块，并分配给一个虚拟的√P × √P处理器网格（P为处理器总数）。每个处理器负责计算结果矩阵C中对应块的部分值，通过循环移位和局部计算相结合的方式实现高效并行。

解题过程

1. 矩阵划分与处理器分配

   • 将矩阵A、B和C划分为大小为(N/√P) × (N/√P)的块，总块数为P。
   • 将处理器组织成√P × √P的网格，每个处理器Pᵢⱼ初始存储块Aᵢⱼ和Bᵢⱼ，并负责计算Cᵢⱼ。
   • 例如：若N=8且P=4，则网格为2×2，每个块大小为4×4。

2. 初始化通信模式

   • 在网格的每一行内，选择一个主对角线块Aₖₖ（k为当前步骤的循环索引）作为该行的“广播块”。
   • 处理器Pₖₖ将Aₖₖ广播给同一行的所有其他处理器。例如，在步骤k=0时，行0的P₀₀广播A₀₀给行0的P₀₁。

3. 循环执行√P次计算与通信

   • 对每一步k（0 ≤ k < √P）：
     a. 广播阶段：当前行主对角线处理器Pₖ₍k mod √P₎将Aₖ₍k mod √P₎广播给同行所有处理器。
     b. 局部计算阶段：每个处理器Pᵢⱼ用接收到的A块与本地B块相乘，将结果累加到Cᵢⱼ。
     计算式：Cᵢⱼ += Aᵢₖ × Bₖⱼ。
     c. 循环移位阶段：所有处理器将本地B块沿列方向向上循环移动一格（即Bᵢⱼ发送给P₍ᵢ₋₁₎ mod √P,ⱼ）。
   • 示例（P=4）：
     • k=0：行0广播A₀₀，所有处理器计算Aᵢ₀ × B₀ⱼ，然后B块上移一行（P₀ⱼ的B块移至P₁ⱼ）。
     • k=1：行1广播A₁₁，计算Aᵢ₁ × B₁ⱼ，再次上移B块。

4. 终止与结果收集

   • 完成√P次循环后，每个处理器Pᵢⱼ中的Cᵢⱼ即为最终结果块。
   • 若需集中结果，可通过全局收集操作将C块组合成完整矩阵C。

关键点说明

• 通信优化：通过循环移位避免全局通信，仅需行内广播和列内移位。
• 负载均衡：所有处理器在每一步均参与计算，无空闲等待。
• 扩展性：算法复杂度为O(N³/P)计算和O(√P)通信步，适用于大规模系统。