切棍子的最小成本问题（进阶版：多维切割） 题目描述： 有一根长度为n的棍子，以及m个不同的切割位置。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。现在要求按照给定的切割顺序（这m个位置必须按顺序切割，但每个位置可以自由选择在任意时间切割），求最小的总切割成本。 解题过程： 问题分析： 我们有一根长度为n的棍子 有m个必须的切割点，这些点有固定的顺序（比如从左到右） 每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度 目标是最小化总切割成本 状态定义： 定义dp[ i][ j ]为完成从第i个切割点到第j个切割点之间的所有切割所需的最小成本，其中切割点0和切割点m+1分别表示棍子的两端。 状态转移方程： 对于区间[ i,j ]，我们枚举最后一个切割的位置k（i ≤ k ≤ j），那么： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k-1] + dp[ k+1][ j] + (cut[ j+1] - cut[ i-1 ])) 其中cut数组存储所有切割位置，包括棍子两端。 边界条件： 当i > j时，dp[ i][ j ] = 0（没有切割需要完成） 当i = j时，dp[ i][ j] = cut[ j+1] - cut[ i-1 ]（只有一个切割点） 计算顺序： 按照区间长度从小到大进行计算，从长度为1的区间开始，直到长度为m的区间。 示例说明： 假设棍子长度n=10，有3个切割点分别在位置2,4,7，且必须按此顺序切割。 计算过程： 初始化cut数组：[ 0,2,4,7,10 ] 计算长度为1的区间： dp[ 1][ 1] = cut[ 2]-cut[ 0 ] = 2-0 = 2 dp[ 2][ 2] = cut[ 3]-cut[ 1 ] = 4-2 = 2 dp[ 3][ 3] = cut[ 4]-cut[ 2 ] = 7-4 = 3 计算长度为2的区间： dp[ 1][ 2 ] = min( dp[ 1][ 1] + dp[ 3][ 2] + (cut[ 3]-cut[ 0 ]) = 2 + 0 + (4-0) = 6, dp[ 1][ 0] + dp[ 2][ 2] + (cut[ 3]-cut[ 0 ]) = 0 + 2 + 4 = 6 ) = 6 dp[ 2][ 3 ] = min( dp[ 2][ 2] + dp[ 4][ 3] + (cut[ 4]-cut[ 1 ]) = 2 + 0 + (7-2) = 9, dp[ 2][ 1] + dp[ 3][ 3] + (cut[ 4]-cut[ 1 ]) = 0 + 3 + 5 = 8 ) = 8 计算长度为3的区间： dp[ 1][ 3 ] = min( dp[ 1][ 1] + dp[ 3][ 3] + (cut[ 4]-cut[ 0 ]) = 2 + 3 + (7-0) = 12, dp[ 1][ 2] + dp[ 4][ 3] + (cut[ 4]-cut[ 0 ]) = 6 + 0 + 7 = 13, dp[ 1][ 0] + dp[ 2][ 3] + (cut[ 4]-cut[ 0 ]) = 0 + 8 + 7 = 15 ) = 12 最终最小切割成本为12。 这个问题的关键在于理解切割顺序的约束，以及如何通过区间DP来分解问题，每次考虑当前区间的最后一个切割点，将大问题分解为两个子问题。