基于线性规划的图最小边覆盖问题的对偶方法求解示例 我将通过一个具体示例，讲解如何使用线性规划的对偶理论求解图的最小边覆盖问题。最小边覆盖是指用最少的边覆盖图中所有顶点的边集合。 问题描述 考虑无向图G=(V,E)，其中顶点集V={1,2,3,4}，边集E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}。我们需要找到覆盖所有顶点的最小边集合。 线性规划建模 最小边覆盖问题可建模为整数规划： 决策变量：x_ e ∈ {0,1}，表示边e是否被选中 目标函数：min ∑x_ e 约束条件：对每个顶点v，∑x_ e ≥ 1（覆盖该顶点的边至少有一条） 线性规划松弛 将整数约束松弛为x_ e ≥ 0，得到线性规划： min x₁₂ + x₁₃ + x₂₃ + x₂₄ + x₃₄ s.t. x₁₂ + x₁₃ ≥ 1 (顶点1) x₁₂ + x₂₃ + x₂₄ ≥ 1 (顶点2) x₁₃ + x₂₃ + x₃₄ ≥ 1 (顶点3) x₂₄ + x₃₄ ≥ 1 (顶点4) x_ e ≥ 0 对偶问题构建 原问题的对偶变量为y₁,y₂,y₃,y₄ ≥ 0，对偶问题为： max y₁ + y₂ + y₃ + y₄ s.t. y₁ + y₂ ≤ 1 (边(1,2)) y₁ + y₃ ≤ 1 (边(1,3)) y₂ + y₃ ≤ 1 (边(2,3)) y₂ + y₄ ≤ 1 (边(2,4)) y₃ + y₄ ≤ 1 (边(3,4)) yᵢ ≥ 0 对偶问题求解 观察对偶约束，最优解需在满足所有约束下最大化∑yᵢ。通过分析： 令y₁ = y₄ = 1, y₂ = y₃ = 0，满足所有约束且目标值为2 这是最优解，因为任何两个相邻顶点的y值之和不能超过1 互补松弛条件应用 根据互补松弛定理： 当y₁ + y₂ < 1时，x₁₂ = 0 当y₁ + y₃ < 1时，x₁₃ = 0 当y₂ + y₃ < 1时，x₂₃ = 0 当y₂ + y₄ = 1时，x₂₄ ≥ 0 当y₃ + y₄ = 1时，x₃₄ ≥ 0 原问题最优解 由互补松弛条件，x₁₂ = x₁₃ = x₂₃ = 0，x₂₄和x₃₄可不为0。 为覆盖所有顶点且边数最少，选择边集{(2,4),(3,4)}，覆盖顶点2,3,4，但顶点1未被覆盖，需要增加边(1,2)或(1,3)。 实际上，最优边覆盖为{(1,2),(3,4)}或{(1,3),(2,4)}，边数为2。 结论验证 原问题最优值为2，对偶问题最优值也为2，满足强对偶定理。最小边覆盖的边数为2，与理论结果一致。 这个方法展示了如何通过对偶理论分析组合优化问题，避免了直接求解整数规划的复杂性。