高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理
字数 2158 2025-11-14 03:34:06

高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理

题目描述
考虑带权函数的积分问题：计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中权函数为 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫节点（即切比雪夫多项式的零点）和对应权重，可精确计算该积分。但实际应用中，权函数可能未归一化（即权函数的积分不为1），需通过归一化处理确保数值稳定性与精度。本题要求解释权函数归一化的原理，并演示如何在高斯-切比雪夫公式中实现归一化处理。

解题过程

  1. 理解权函数与正交多项式的关系
    • 高斯型求积公式的核心是权函数 \(w(x)\) 与正交多项式。对于区间 \([-1,1]\)，切比雪夫权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 对应的正交多项式是切比雪夫多项式 \(T_n(x)\)。
    • 切比雪夫多项式的正交性定义为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & \text{若 } m \neq n \\ \pi & \text{若 } m = n = 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{若 } m = n \neq 0 \end{cases} \]

  • 注意：权函数 \(w(x)\) 的积分 \(\int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \neq 1\)，即未归一化。
  1. 高斯-切比雪夫求积公式的构造
    • 标准高斯-切比雪夫公式（未归一化）的节点为 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重为 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)（对所有 \(k\) 相同），公式为：

\[ I_n = \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]

  • 该公式对次数小于 \(2n\) 的多项式精确成立，但权函数的非归一化性隐含在权重 \(\frac{\pi}{n}\) 中（因 \(\sum w_k = \pi\)）。

  1. 权函数归一化的必要性

    • 若权函数未归一化（即积分不为1），直接应用公式可能导致数值不稳定或误差放大。例如，若权函数变为 \(\tilde{w}(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}}\)（\(c \neq 1\)），需调整权重以保持公式的精确性。
    • 归一化目标：将权函数缩放为 \(\hat{w}(x) = \frac{w(x)}{\int w(x) \, dx}\)，使其积分为1。本例中，\(\hat{w}(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}\).

  2. 归一化处理步骤

    • 步骤1：计算权函数的积分 \(C = \int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi\)。
    • 步骤2：定义归一化权函数 \(\hat{w}(x) = \frac{w(x)}{C} = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}\)。
    • 步骤3：将原积分改写为：

\[ I = \int_{-1}^{1} f(x) w(x) \, dx = C \int_{-1}^{1} f(x) \hat{w}(x) \, dx \]

  • 步骤4：对归一化权函数 \(\hat{w}(x)\) 应用高斯-切比雪夫公式。节点不变（仍为切比雪夫节点），但权重调整为 \(\hat{w}_k = \frac{1}{n}\)（因 \(\sum \hat{w}_k = 1\)），最终公式为：

\[ I_n = C \cdot \sum_{k=1}^{n} \hat{w}_k f(x_k) = \pi \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]

 结果与未归一化形式一致，但通过归一化过程明确了权函数的缩放关系。
  1. 归一化的优势与验证
    • 优势：归一化后权重之和为1，避免了大数相乘导致的数值误差；同时便于推广到其他权函数（如 \(w(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}}\)）。
    • 验证：取 \(f(x) \equiv 1\)，原积分 \(I = \pi\)，公式结果 \(I_n = \pi \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} 1 = \pi\)，精确成立。

总结
权函数归一化通过缩放使权函数积分为1，再通过常数乘法还原原积分，确保数值稳定性和公式通用性。高斯-切比雪夫公式在此处理下无需改变节点，仅调整权重比例，适用于各类带权积分问题。

高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理 题目描述 考虑带权函数的积分问题：计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中权函数为 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫节点（即切比雪夫多项式的零点）和对应权重，可精确计算该积分。但实际应用中，权函数可能未归一化（即权函数的积分不为1），需通过归一化处理确保数值稳定性与精度。本题要求解释权函数归一化的原理，并演示如何在高斯-切比雪夫公式中实现归一化处理。 解题过程 理解权函数与正交多项式的关系 高斯型求积公式的核心是权函数 \( w(x) \) 与正交多项式。对于区间 \([ -1,1]\)，切比雪夫权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 对应的正交多项式是切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \)。 切比雪夫多项式的正交性定义为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & \text{若 } m \neq n \\ \pi & \text{若 } m = n = 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{若 } m = n \neq 0 \end{cases} \] 注意：权函数 \( w(x) \) 的积分 \( \int_ {-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \neq 1 \)，即未归一化。 高斯-切比雪夫求积公式的构造 标准高斯-切比雪夫公式（未归一化）的节点为 \( x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \)，权重为 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)（对所有 \( k \) 相同），公式为： \[ I_ n = \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left(\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \] 该公式对次数小于 \( 2n \) 的多项式精确成立，但权函数的非归一化性隐含在权重 \( \frac{\pi}{n} \) 中（因 \( \sum w_ k = \pi \)）。 权函数归一化的必要性 若权函数未归一化（即积分不为1），直接应用公式可能导致数值不稳定或误差放大。例如，若权函数变为 \( \tilde{w}(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}} \)（\( c \neq 1 \)），需调整权重以保持公式的精确性。 归一化目标：将权函数缩放为 \( \hat{w}(x) = \frac{w(x)}{\int w(x) \, dx} \)，使其积分为1。本例中，\( \hat{w}(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}} \). 归一化处理步骤 步骤1：计算权函数的积分 \( C = \int_ {-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \)。 步骤2：定义归一化权函数 \( \hat{w}(x) = \frac{w(x)}{C} = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}} \)。 步骤3：将原积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) w(x) \, dx = C \int_ {-1}^{1} f(x) \hat{w}(x) \, dx \] 步骤4：对归一化权函数 \( \hat{w}(x) \) 应用高斯-切比雪夫公式。节点不变（仍为切比雪夫节点），但权重调整为 \( \hat{w}_ k = \frac{1}{n} \)（因 \( \sum \hat{w} k = 1 \)），最终公式为： \[ I_ n = C \cdot \sum {k=1}^{n} \hat{w} k f(x_ k) = \pi \cdot \frac{1}{n} \sum {k=1}^{n} f\left(\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \] 结果与未归一化形式一致，但通过归一化过程明确了权函数的缩放关系。 归一化的优势与验证 优势：归一化后权重之和为1，避免了大数相乘导致的数值误差；同时便于推广到其他权函数（如 \( w(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}} \)）。 验证：取 \( f(x) \equiv 1 \)，原积分 \( I = \pi \)，公式结果 \( I_ n = \pi \cdot \frac{1}{n} \sum_ {k=1}^{n} 1 = \pi \)，精确成立。 总结 权函数归一化通过缩放使权函数积分为1，再通过常数乘法还原原积分，确保数值稳定性和公式通用性。高斯-切比雪夫公式在此处理下无需改变节点，仅调整权重比例，适用于各类带权积分问题。