变分推断（Variational Inference）算法的原理与计算过程 题目描述 变分推断是机器学习中一种重要的近似推断方法，用于在概率模型中近似计算难以直接求解的后验分布。当模型包含隐变量时，后验分布通常无法解析求解，变分推断通过引入一个易处理的变分分布来逼近真实后验，将推断问题转化为优化问题。本题目将详细讲解变分推断的数学原理、变分下界的推导，以及坐标上升算法的优化过程。 解题过程 问题定义 假设我们有一个概率模型，其中观测变量为 \( X \)，隐变量为 \( Z \)，模型联合分布为 \( p(X, Z) \)。目标是计算后验分布 \( p(Z | X) \)，但由于积分 \( p(X) = \int p(X, Z) dZ \) 难以计算，直接求解后验不可行。变分推断通过引入变分分布 \( q(Z) \)（属于某个易处理的分布族，如高斯分布），并最小化 \( q(Z) \) 与真实后验 \( p(Z | X) \) 的KL散度来近似后验： \[ \text{KL}(q(Z) \| p(Z | X)) = \mathbb{E}_ {q} \left[ \log \frac{q(Z)}{p(Z | X)} \right ] \] 证据下界（ELBO）的推导 直接最小化KL散度不可行（因涉及真实后验），转而最大化证据下界（ELBO）。对边缘似然 \( \log p(X) \) 分解： \[ \log p(X) = \text{ELBO}(q) + \text{KL}(q(Z) \| p(Z | X)) \] 其中ELBO定义为： \[ \text{ELBO}(q) = \mathbb{E} {q} [ \log p(X, Z)] - \mathbb{E} {q} [ \log q(Z) ] \] 第一项是联合分布的期望，鼓励 \( q \) 将质量放在能解释观测数据的隐变量上。 第二项是 \( q \) 的熵，鼓励 \( q \) 更分散以避免过拟合。 由于 \( \log p(X) \) 是常数，最大化ELBO等价于最小化KL散度。 平均场变分推断 为简化问题，常假设变分分布可分解（平均场假设）： \[ q(Z) = \prod_ {j=1}^{m} q_ j(Z_ j) \] 其中 \( Z \) 被划分为 \( m \) 个不相交组。通过固定其他 \( q_ {k \neq j} \) 优化 \( q_ j \)，可推导出最优解： \[ \log q_ j^ (Z_ j) = \mathbb{E}_ {i \neq j} [ \log p(X, Z) ] + \text{const.} \] 这里期望是对所有 \( Z_ i (i \neq j) \) 在 \( q_ i \) 下取期望。该式表明，\( q_ j^ \) 的形式由联合分布的对数期望决定，通常可解析求解（如指数族分布）。 坐标上升优化算法 通过迭代更新每个 \( q_ j \) 以最大化ELBO： 初始化 ：随机设置变分参数（如均值和方差）。 迭代更新 ：对于 \( j = 1, \dots, m \)： 计算 \( \mathbb{E} {i \neq j} [ \log p(X, Z)] \)（期望在当前 \( q {i \neq j} \) 下计算）。 根据 \( \log q_ j^* \propto \mathbb{E}_ {i \neq j} [ \log p(X, Z)] \) 更新 \( q_ j \)。 收敛判断 ：当ELBO的变化小于阈值时停止。 应用示例 以高斯混合模型为例： 隐变量 \( Z \) 包括簇分配和均值/方差参数。 变分分布 \( q \) 假设为高斯分布（参数）和类别分布（分配）。 更新 \( q \) 时，簇参数的更新依赖数据点的加权统计量，分配的更新依赖参数的后验概率。 总结 变分推断通过优化易处理的变分分布逼近复杂后验，其核心是最大化ELBO。平均场假设和坐标上升算法使计算可行，适用于大规模概率模型。与MCMC采样相比，变分推断更高效但可能低估后验方差。