非线性规划中的自适应信赖域-序列二次规划混合算法基础题

字数 2098 2025-11-14 01:32:47

非线性规划中的自适应信赖域-序列二次规划混合算法基础题

我将通过一个具体问题来讲解自适应信赖域-序列二次规划混合算法的原理和应用。考虑如下约束非线性规划问题：

最小化 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)²
约束条件：
c₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
c₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0
初始点：x⁰ = (0, 0)

问题分析
这是一个典型的带不等式约束的非线性规划问题。目标函数是二次函数，约束条件包含非线性约束c₁(x)和线性约束c₂(x)。我们需要在可行域内找到使目标函数最小的点。

算法原理
自适应信赖域-序列二次规划混合算法结合了两种方法的优点：

序列二次规划(SQP)：通过求解一系列二次规划子问题来逼近原问题
自适应信赖域：动态调整信赖域半径，控制步长的可靠性

求解步骤

步骤1：初始化
设置初始点x⁰ = (0, 0)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，参数η = 0.1（接受阈值），γ₁ = 0.5（半径缩小因子），γ₂ = 2.0（半径扩大因子），收敛容差ε = 10⁻⁶

计算初始函数值：
f(x⁰) = (0-2)² + (0-1)² = 4 + 1 = 5
约束违反度：c₁(x⁰) = 0 - 0 = 0，c₂(x⁰) = 0 + 0 - 2 = -2

步骤2：构建拉格朗日函数
拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ₁c₁(x) + λ₂c₂(x)
在x⁰处，梯度计算：
∇f(x) = [2(x₁-2), 2(x₂-1)]，∇f(x⁰) = [-4, -2]
∇c₁(x) = [2x₁, -1]，∇c₁(x⁰) = [0, -1]
∇c₂(x) = [1, 1]，∇c₂(x⁰) = [1, 1]

步骤3：构建第一个二次规划子问题
在当前点x⁰，构建QP子问题：
最小化 q(d) = ∇f(x⁰)ᵀd + ½dᵀB₀d
约束条件：c₁(x⁰) + ∇c₁(x⁰)ᵀd ≤ 0
c₂(x⁰) + ∇c₂(x⁰)ᵀd ≤ 0
||d|| ≤ Δ₀

其中B₀是拉格朗日函数Hessian的近似，初始可用单位矩阵。

步骤4：求解QP子问题
代入数值：
最小化 q(d) = [-4, -2]·[d₁,d₂] + ½[d₁,d₂]·I·[d₁,d₂]ᵀ
约束条件：0 + [0,-1]·[d₁,d₂] ≤ 0 → -d₂ ≤ 0
-2 + [1,1]·[d₁,d₂] ≤ 0 → d₁ + d₂ - 2 ≤ 0
d₁² + d₂² ≤ 0.25

求解得：d⁰ = (0.3536, 0.3536)

步骤5：计算实际下降与预测下降
实际下降：Ared = f(x⁰) - f(x⁰ + d⁰)
预测下降：Pred = q(0) - q(d⁰)

计算x¹ = x⁰ + d⁰ = (0.3536, 0.3536)
f(x¹) = (0.3536-2)² + (0.3536-1)² ≈ 2.707 + 0.418 ≈ 3.125
Ared = 5 - 3.125 = 1.875
Pred = q(0) - q(d⁰) = 0 - (-4×0.3536 -2×0.3536 + ½×0.5) ≈ 2.121 - 0.25 = 1.871

步骤6：计算比值并调整信赖域半径
比值ρ = Ared/Pred = 1.875/1.871 ≈ 1.002

由于ρ > η = 0.1，接受该步长：x¹ = (0.3536, 0.3536)
由于ρ接近1，说明模型拟合良好，可扩大信赖域：Δ₁ = γ₂×Δ₀ = 2×0.5 = 1.0

步骤7：第二次迭代
在x¹处重新计算梯度和约束，构建新的QP子问题：
∇f(x¹) = [2(0.3536-2), 2(0.3536-1)] ≈ [-3.293, -1.293]
∇c₁(x¹) = [2×0.3536, -1] = [0.7072, -1]
c₁(x¹) = 0.125 - 0.3536 = -0.2286
c₂(x¹) = 0.3536 + 0.3536 - 2 = -1.2928

新的QP子问题：
最小化 [-3.293, -1.293]·d + ½dᵀB₁d
约束条件：-0.2286 + [0.7072, -1]·d ≤ 0
-1.2928 + [1,1]·d ≤ 0
||d|| ≤ 1.0

步骤8：收敛判断
重复上述过程，直到满足以下收敛条件之一：

步长||d|| < ε
函数值变化|f(xᵏ⁺¹) - f(xᵏ)| < ε
梯度投影||P(∇f(xᵏ))|| < ε

经过数次迭代后，算法收敛到近似最优解x* ≈ (1.0, 1.0)，f(x*) = 1.0

算法优势

自适应信赖域确保算法稳定性
SQP提供快速局部收敛
混合策略平衡全局收敛和局部收敛速度
能有效处理非线性约束

这个算法特别适合中等规模的非线性规划问题，在工程优化、经济建模等领域有广泛应用。

非线性规划中的自适应信赖域-序列二次规划混合算法基础题我将通过一个具体问题来讲解自适应信赖域-序列二次规划混合算法的原理和应用。考虑如下约束非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² 约束条件： c₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 c₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 初始点：x⁰ = (0, 0) 问题分析这是一个典型的带不等式约束的非线性规划问题。目标函数是二次函数，约束条件包含非线性约束c₁(x)和线性约束c₂(x)。我们需要在可行域内找到使目标函数最小的点。算法原理自适应信赖域-序列二次规划混合算法结合了两种方法的优点：序列二次规划(SQP)：通过求解一系列二次规划子问题来逼近原问题自适应信赖域：动态调整信赖域半径，控制步长的可靠性求解步骤步骤1：初始化设置初始点x⁰ = (0, 0)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，参数η = 0.1（接受阈值），γ₁ = 0.5（半径缩小因子），γ₂ = 2.0（半径扩大因子），收敛容差ε = 10⁻⁶ 计算初始函数值： f(x⁰) = (0-2)² + (0-1)² = 4 + 1 = 5 约束违反度：c₁(x⁰) = 0 - 0 = 0，c₂(x⁰) = 0 + 0 - 2 = -2 步骤2：构建拉格朗日函数拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ₁c₁(x) + λ₂c₂(x) 在x⁰处，梯度计算： ∇f(x) = [ 2(x₁-2), 2(x₂-1)]，∇f(x⁰) = [ -4, -2 ] ∇c₁(x) = [ 2x₁, -1]，∇c₁(x⁰) = [ 0, -1 ] ∇c₂(x) = [ 1, 1]，∇c₂(x⁰) = [ 1, 1 ] 步骤3：构建第一个二次规划子问题在当前点x⁰，构建QP子问题：最小化 q(d) = ∇f(x⁰)ᵀd + ½dᵀB₀d 约束条件：c₁(x⁰) + ∇c₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 c₂(x⁰) + ∇c₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 ||d|| ≤ Δ₀ 其中B₀是拉格朗日函数Hessian的近似，初始可用单位矩阵。步骤4：求解QP子问题代入数值：最小化 q(d) = [ -4, -2]·[ d₁,d₂] + ½[ d₁,d₂]·I·[ d₁,d₂ ]ᵀ 约束条件：0 + [ 0,-1]·[ d₁,d₂ ] ≤ 0 → -d₂ ≤ 0 -2 + [ 1,1]·[ d₁,d₂ ] ≤ 0 → d₁ + d₂ - 2 ≤ 0 d₁² + d₂² ≤ 0.25 求解得：d⁰ = (0.3536, 0.3536) 步骤5：计算实际下降与预测下降实际下降：Ared = f(x⁰) - f(x⁰ + d⁰) 预测下降：Pred = q(0) - q(d⁰) 计算x¹ = x⁰ + d⁰ = (0.3536, 0.3536) f(x¹) = (0.3536-2)² + (0.3536-1)² ≈ 2.707 + 0.418 ≈ 3.125 Ared = 5 - 3.125 = 1.875 Pred = q(0) - q(d⁰) = 0 - (-4×0.3536 -2×0.3536 + ½×0.5) ≈ 2.121 - 0.25 = 1.871 步骤6：计算比值并调整信赖域半径比值ρ = Ared/Pred = 1.875/1.871 ≈ 1.002 由于ρ > η = 0.1，接受该步长：x¹ = (0.3536, 0.3536) 由于ρ接近1，说明模型拟合良好，可扩大信赖域：Δ₁ = γ₂×Δ₀ = 2×0.5 = 1.0 步骤7：第二次迭代在x¹处重新计算梯度和约束，构建新的QP子问题： ∇f(x¹) = [ 2(0.3536-2), 2(0.3536-1)] ≈ [ -3.293, -1.293 ] ∇c₁(x¹) = [ 2×0.3536, -1] = [ 0.7072, -1 ] c₁(x¹) = 0.125 - 0.3536 = -0.2286 c₂(x¹) = 0.3536 + 0.3536 - 2 = -1.2928 新的QP子问题：最小化 [ -3.293, -1.293 ]·d + ½dᵀB₁d 约束条件：-0.2286 + [ 0.7072, -1 ]·d ≤ 0 -1.2928 + [ 1,1 ]·d ≤ 0 ||d|| ≤ 1.0 步骤8：收敛判断重复上述过程，直到满足以下收敛条件之一：步长||d|| < ε 函数值变化|f(xᵏ⁺¹) - f(xᵏ)| < ε 梯度投影||P(∇f(xᵏ))|| < ε 经过数次迭代后，算法收敛到近似最优解x* ≈ (1.0, 1.0)，f(x* ) = 1.0 算法优势自适应信赖域确保算法稳定性 SQP提供快速局部收敛混合策略平衡全局收敛和局部收敛速度能有效处理非线性约束这个算法特别适合中等规模的非线性规划问题，在工程优化、经济建模等领域有广泛应用。