排序算法之：Stooge排序的递归深度优化与尾递归转换

题目描述：
给定一个整数数组，要求使用Stooge排序算法对其进行升序排列，并优化递归深度以避免栈溢出风险。Stooge排序是一种递归排序算法，其基本思想是：如果数组首元素大于尾元素则交换它们；如果数组长度大于2，则递归地对前2/3、后2/3、再前2/3的子数组进行排序。

解题过程：

1. 基础Stooge排序算法
   首先我们实现基础的Stooge排序算法：

def stooge_sort_basic(arr, l=0, r=None):
    if r is None:
        r = len(arr) - 1
    
    # 基本情况：如果左边界大于等于右边界，直接返回
    if l >= r:
        return
    
    # 步骤1：如果首元素大于尾元素，交换它们
    if arr[l] > arr[r]:
        arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
    
    # 步骤2：如果子数组长度大于2，进行递归排序
    if r - l + 1 > 2:
        t = (r - l + 1) // 3  # 计算1/3的长度
        
        # 递归排序前2/3部分
        stooge_sort_basic(arr, l, r - t)
        # 递归排序后2/3部分  
        stooge_sort_basic(arr, l + t, r)
        # 再次递归排序前2/3部分
        stooge_sort_basic(arr, l, r - t)

2. 递归深度分析
   Stooge排序的递归深度在最坏情况下为 O(log n / log 1.5) ≈ O(log₁.₅n)，因为每次递归调用将问题规模减少到原来的2/3。

3. 尾递归优化
   我们可以将最后一个递归调用转换为尾递归，减少栈深度：

def stooge_sort_tail_recursive(arr, l=0, r=None):
    if r is None:
        r = len(arr) - 1
    
    # 基本情况
    if l >= r:
        return
    
    # 交换首尾元素（如果需要）
    if arr[l] > arr[r]:
        arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
    
    # 如果子数组长度大于2，进行递归
    if r - l + 1 > 2:
        t = (r - l + 1) // 3
        
        # 递归排序前2/3
        stooge_sort_tail_recursive(arr, l, r - t)
        # 递归排序后2/3
        stooge_sort_tail_recursive(arr, l + t, r)
        
        # 尾递归：直接重用当前栈帧
        return stooge_sort_tail_recursive(arr, l, r - t)

4. 迭代版本实现
   为了彻底避免递归深度问题，我们可以实现迭代版本：

def stooge_sort_iterative(arr):
    n = len(arr)
    if n <= 1:
        return arr
    
    # 使用栈来模拟递归调用
    stack = [(0, n - 1)]
    
    while stack:
        l, r = stack.pop()
        
        # 基本情况
        if l >= r:
            continue
        
        # 交换首尾元素
        if arr[l] > arr[r]:
            arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
        
        # 如果子数组长度大于2
        if r - l + 1 > 2:
            t = (r - l + 1) // 3
            
            # 将三个递归调用转换为栈操作
            # 注意顺序：最后调用的先入栈
            stack.append((l, r - t))        # 第三次调用
            stack.append((l + t, r))        # 第二次调用  
            stack.append((l, r - t))        # 第一次调用
    
    return arr

5. 性能优化：提前终止
   添加提前终止条件，当数组已经有序时立即返回：

def stooge_sort_optimized(arr, l=0, r=None):
    if r is None:
        r = len(arr) - 1
    
    if l >= r:
        return
    
    # 检查当前子数组是否已经有序
    is_sorted = True
    for i in range(l + 1, r + 1):
        if arr[i - 1] > arr[i]:
            is_sorted = False
            break
    
    if is_sorted:
        return
    
    # 交换首尾元素
    if arr[l] > arr[r]:
        arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
    
    if r - l + 1 > 2:
        t = (r - l + 1) // 3
        stooge_sort_optimized(arr, l, r - t)
        stooge_sort_optimized(arr, l + t, r)
        stooge_sort_optimized(arr, l, r - t)

6. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^(log3/log1.5)) ≈ O(n^2.71)
• 空间复杂度：
  • 基础版本：O(log n) 递归栈深度
  • 优化版本：O(1) 尾递归或迭代实现

这个优化过程展示了如何通过尾递归转换和迭代实现来改进递归算法的栈深度问题，同时保持算法的正确性。