非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题

字数 2404 2025-11-13 21:18:05

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题

题目描述：
考虑非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + \sin(x_1 x_2) \]

约束条件为：

\[g_1(x) = x_1 - 2x_2 + 1 \geq 0 \]

\[g_2(x) = -x_1^2 - x_2^2 + 4 \geq 0 \]

\[x_1, x_2 \in \mathbb{R} \]

要求使用序列二次规划（SQP）结合代理模型（如二次近似）和信赖域策略求解该问题，初始点 \(x^{(0)} = [2, 0]\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 0.5\)。

解题过程：

问题分析
- 目标函数 \(f(x)\) 包含非线性项 \(\sin(x_1 x_2)\)，约束 \(g_2(x)\) 为非线性不等式。
- 核心思想：通过SQP将原问题转化为一系列二次规划子问题，并用代理模型（如拉格朗日函数的二次近似）简化计算，再通过信赖域控制步长以保证收敛。
构建拉格朗日函数
引入拉格朗日乘子 \(\lambda_1, \lambda_2\)，定义拉格朗日函数：

\[ L(x, \lambda) = f(x) - \lambda_1 g_1(x) - \lambda_2 g_2(x) \]

其中 \(\lambda_1, \lambda_2 \geq 0\)。

初始化
设初始点 \(x^{(0)} = [2, 0]\)，初始乘子 \(\lambda^{(0)} = [0, 0]\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，容忍误差 \(\epsilon = 10^{-6}\)。
迭代步骤（第k次迭代）
步骤1：计算梯度与Hessian
- 计算目标函数梯度 \(\nabla f(x^{(k)})\) 和约束梯度 \(\nabla g_1(x^{(k)}), \nabla g_2(x^{(k)})\)。
  例如在 \(x^{(0)}\) 处：

\[ \nabla f = [2(x_1-1) + x_2 \cos(x_1 x_2), \ 2(x_2-2.5) + x_1 \cos(x_1 x_2)] \]

 代入得 $ \nabla f(x^{(0)}) \approx [2, -3] $。

\[ \nabla g_1 = [1, -2], \quad \nabla g_2 = [-2x_1, -2x_2] \approx [-4, 0] \]

计算拉格朗日函数的Hessian近似 \(B_k\)（用BFGS更新或精确Hessian）：

\[ B_k = \nabla^2 L(x^{(k)}, \lambda^{(k)}) \]

 若用精确Hessian，需计算二阶导数。

步骤2：构建二次规划子问题
在 \(x^{(k)}\) 处建立代理模型（二次近似）：

\[ \min_p \frac{1}{2} p^T B_k p + \nabla f(x^{(k)})^T p \]

约束为线性化约束：

\[ \nabla g_1(x^{(k)})^T p + g_1(x^{(k)}) \geq 0 \]

\[ \nabla g_2(x^{(k)})^T p + g_2(x^{(k)}) \geq 0 \]

且满足信赖域约束 \(\|p\| \leq \Delta_k\)。

步骤3：求解子问题
使用积极集法或内点法求解该二次规划，得到步长 \(p_k\)。

步骤4：计算实际下降与预测下降

实际下降：

\[ \text{ared}_k = f(x^{(k)}) - f(x^{(k)} + p_k) \]

预测下降（基于代理模型）：

\[ \text{pred}_k = -\left( \nabla f(x^{(k)})^T p_k + \frac{1}{2} p_k^T B_k p_k \right) \]

计算比值 \(\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}\)。

步骤5：更新信赖域半径

若 \(\rho_k < 0.25\)，拒绝步长，缩小信赖域： \(\Delta_{k+1} = 0.5 \Delta_k\)。
若 \(\rho_k > 0.75\)，接受步长，扩大信赖域： \(\Delta_{k+1} = 2 \Delta_k\)。
否则保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。

步骤6：更新迭代点与乘子

若 \(\rho_k > \eta\)（如 \(\eta = 0.1\)），接受步长： \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + p_k\)，并更新乘子 \(\lambda^{(k+1)}\) 为子问题解。
否则保持 \(x^{(k+1)} = x^{(k)}\)。

收敛判断
检查KKT条件的残差：

\[ \|\nabla L(x^{(k)}, \lambda^{(k)})\| \leq \epsilon, \quad |\lambda_i g_i(x^{(k)})| \leq \epsilon \]

若满足则停止，否则返回步骤1。

关键点：

代理模型简化了非线性的Hessian计算。
信赖域确保迭代稳定性，避免无效大步长。
通过比值 \(\rho_k\) 动态调整信赖域半径，平衡近似精度与效率。

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域混合算法进阶题题目描述：考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 + \sin(x_ 1 x_ 2) \] 约束条件为： \[ g_ 1(x) = x_ 1 - 2x_ 2 + 1 \geq 0 \] \[ g_ 2(x) = -x_ 1^2 - x_ 2^2 + 4 \geq 0 \] \[ x_ 1, x_ 2 \in \mathbb{R} \] 要求使用序列二次规划（SQP）结合代理模型（如二次近似）和信赖域策略求解该问题，初始点 \( x^{(0)} = [ 2, 0] \)，初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)。解题过程：问题分析目标函数 \( f(x) \) 包含非线性项 \( \sin(x_ 1 x_ 2) \)，约束 \( g_ 2(x) \) 为非线性不等式。核心思想：通过SQP将原问题转化为一系列二次规划子问题，并用代理模型（如拉格朗日函数的二次近似）简化计算，再通过信赖域控制步长以保证收敛。构建拉格朗日函数引入拉格朗日乘子 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \)，定义拉格朗日函数： \[ L(x, \lambda) = f(x) - \lambda_ 1 g_ 1(x) - \lambda_ 2 g_ 2(x) \] 其中 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \geq 0 \)。初始化设初始点 \( x^{(0)} = [ 2, 0] \)，初始乘子 \( \lambda^{(0)} = [ 0, 0] \)，初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，容忍误差 \( \epsilon = 10^{-6} \)。迭代步骤（第k次迭代）步骤1：计算梯度与Hessian 计算目标函数梯度 \( \nabla f(x^{(k)}) \) 和约束梯度 \( \nabla g_ 1(x^{(k)}), \nabla g_ 2(x^{(k)}) \)。例如在 \( x^{(0)} \) 处： \[ \nabla f = [ 2(x_ 1-1) + x_ 2 \cos(x_ 1 x_ 2), \ 2(x_ 2-2.5) + x_ 1 \cos(x_ 1 x_ 2) ] \] 代入得 \( \nabla f(x^{(0)}) \approx [ 2, -3 ] \)。 \[ \nabla g_ 1 = [ 1, -2], \quad \nabla g_ 2 = [ -2x_ 1, -2x_ 2] \approx [ -4, 0 ] \] 计算拉格朗日函数的Hessian近似 \( B_ k \)（用BFGS更新或精确Hessian）： \[ B_ k = \nabla^2 L(x^{(k)}, \lambda^{(k)}) \] 若用精确Hessian，需计算二阶导数。步骤2：构建二次规划子问题在 \( x^{(k)} \) 处建立代理模型（二次近似）： \[ \min_ p \frac{1}{2} p^T B_ k p + \nabla f(x^{(k)})^T p \] 约束为线性化约束： \[ \nabla g_ 1(x^{(k)})^T p + g_ 1(x^{(k)}) \geq 0 \] \[ \nabla g_ 2(x^{(k)})^T p + g_ 2(x^{(k)}) \geq 0 \] 且满足信赖域约束 \( \|p\| \leq \Delta_ k \)。步骤3：求解子问题使用积极集法或内点法求解该二次规划，得到步长 \( p_ k \)。步骤4：计算实际下降与预测下降实际下降： \[ \text{ared}_ k = f(x^{(k)}) - f(x^{(k)} + p_ k) \] 预测下降（基于代理模型）： \[ \text{pred}_ k = -\left( \nabla f(x^{(k)})^T p_ k + \frac{1}{2} p_ k^T B_ k p_ k \right) \] 计算比值 \( \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \)。步骤5：更新信赖域半径若 \( \rho_ k < 0.25 \)，拒绝步长，缩小信赖域： \( \Delta_ {k+1} = 0.5 \Delta_ k \)。若 \( \rho_ k > 0.75 \)，接受步长，扩大信赖域： \( \Delta_ {k+1} = 2 \Delta_ k \)。否则保持 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。步骤6：更新迭代点与乘子若 \( \rho_ k > \eta \)（如 \( \eta = 0.1 \)），接受步长： \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + p_ k \)，并更新乘子 \( \lambda^{(k+1)} \) 为子问题解。否则保持 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} \)。收敛判断检查KKT条件的残差： \[ \|\nabla L(x^{(k)}, \lambda^{(k)})\| \leq \epsilon, \quad |\lambda_ i g_ i(x^{(k)})| \leq \epsilon \] 若满足则停止，否则返回步骤1。关键点：代理模型简化了非线性的Hessian计算。信赖域确保迭代稳定性，避免无效大步长。通过比值 \( \rho_ k \) 动态调整信赖域半径，平衡近似精度与效率。