非线性规划中的动态响应面方法(DRSM)进阶题 题目描述 考虑一个非线性规划问题： 最小化 \( f(x)1 = x_ 1^2 + 2x_ 2^2 + \sin(x_ 1 + x_ 2) \) 满足约束 \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 \leq 0 \)，其中 \( x = [ x_ 1, x_ 2 ] \in \mathbb{R}^2 \)。 使用动态响应面方法（DRSM）求解该问题，要求构建二阶多项式响应面模型，并通过迭代更新模型以逼近最优解。解释DRSM的核心思想、步骤，并演示具体计算过程。 解题过程 动态响应面方法是一种基于代理模型的优化技术，通过实验设计构建初始响应面模型，并动态更新模型以逐步逼近真实问题的最优解。以下是详细步骤： 初始化与实验设计 选择初始采样点：使用中心复合设计（CCD）或拉丁超立方采样，在定义域内生成点。例如，设初始点集为 \( X = \{[ -1, -1], [ -1, 1], [ 1, -1], [ 1, 1], [ 0, 0 ]\} \)。 计算目标函数值： \( f(-1,-1) = (-1)^2 + 2(-1)^2 + \sin(-2) = 3 - \sin(2) \approx 2.09 \) 类似计算其他点，得到响应值向量 \( Y \)。 构建二阶响应面模型 模型形式： \[ \hat{f}(x) = \beta_ 0 + \beta_ 1 x_ 1 + \beta_ 2 x_ 2 + \beta_ {11} x_ 1^2 + \beta_ {22} x_ 2^2 + \beta_ {12} x_ 1 x_ 2 \] 通过最小二乘法拟合系数 \( \beta \)。例如，对初始点集求解正规方程 \( (X^T X) \beta = X^T Y \)，得到近似模型。 优化代理模型并评估 求解子问题：最小化 \( \hat{f}(x) \) 满足 \( g(x) \leq 0 \)。使用序列二次规划等算法，得到候选点 \( x^* \)。 计算真实函数值 \( f(x^ ) \) 与预测值 \( \hat{f}(x^ ) \) 的误差 \( \epsilon = |f(x^ ) - \hat{f}(x^ )| \)。 动态更新响应面 若误差 \( \epsilon \) 大于阈值（如 0.1），将 \( x^* \) 加入采样点集，重新拟合响应面模型。 检查收敛性：若连续两次迭代的 \( x^* \) 变化小于容差（如 \( 10^{-4} \)），则停止。 处理约束 在代理模型中，约束 \( g(x) \leq 0 \) 同样用二阶多项式近似，并与目标函数同步更新。 示例迭代 初始模型拟合后，假设候选点为 \( x^* = [ 0.2, 0.8 ] \)。 计算真实值 \( f(x^ ) = 0.2^2 + 2 \times 0.8^2 + \sin(1) \approx 1.54 \)，预测值 \( \hat{f}(x^ ) \approx 1.50 \)，误差 0.04。 由于误差较小，接受该解；否则需更新模型。 核心思想 DRSM 通过迭代减少代理模型与真实函数间的差异，平衡全局探索与局部开发，适用于计算成本高的非线性问题。其动态更新机制确保模型在最优解附近具有高精度。