非线性规划中的信赖域反射正割法进阶题 题目描述： 考虑非线性规划问题： min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² s.t. x₁² + x₂² ≤ 1 其中x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²。使用信赖域反射正割法求解该问题，要求详细展示算法迭代过程。 解题过程： 算法原理介绍 信赖域反射正割法结合了信赖域框架和正割近似，特别适用于约束优化问题。核心思想是在每个迭代点构建二次模型，通过求解信赖域子问题获得搜索方向。 初始化 设初始点x₀ = (0.5, 0.5)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，收敛阈值ε = 10⁻⁶ 计算初始函数值：f(x₀) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = ( -1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 第一次迭代 (k=0) 3.1 梯度计算 ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ] ∇f(x₀) = [ 4(-1.5)³ + 2(-0.5), -4(-0.5)] = [ 4×(-3.375) - 1, 2] = [ -13.5 - 1, 2] = [ -14.5, 2 ] 3.2 正割近似Hessian 由于是第一次迭代，使用单位矩阵作为Hessian近似：B₀ = I 3.3 构建二次模型 m₀(p) = f(x₀) + ∇f(x₀)ᵀp + ½pᵀB₀p 3.4 求解信赖域子问题 min m₀(p) = 5.3125 + [ -14.5, 2 ]p + ½pᵀIp s.t. ||p|| ≤ Δ₀ = 0.5 使用狗腿法求解： 最速下降方向：pᵁ = - (∇f(x₀)ᵀ∇f(x₀)/∇f(x₀)ᵀB₀∇f(x₀)) ∇f(x₀) 牛顿方向：pᴮ = -B₀⁻¹∇f(x₀) = [ 14.5, -2 ] 计算得p₀ = [ 0.485, -0.067 ]（满足||p₀|| ≈ 0.49 ≤ 0.5） 3.5 实际下降量与预测下降量比值 ρ₀ = [ f(x₀) - f(x₀+p₀)] / [ m₀(0) - m₀(p₀) ] x₁ = x₀ + p₀ = [ 0.985, 0.433 ] f(x₁) = (0.985-2)⁴ + (0.985-0.866)² = 1.031 + 0.014 = 1.045 实际下降：5.3125 - 1.045 = 4.2675 预测下降：m₀(0) - m₀(p₀) = 4.312 ρ₀ = 4.2675/4.312 ≈ 0.99 3.6 更新信赖域半径 由于ρ₀ > 0.75，接受迭代，扩大信赖域：Δ₁ = 2Δ₀ = 1.0 第二次迭代 (k=1) 4.1 梯度计算 ∇f(x₁) = [ 4(0.985-2)³ + 2(0.985-0.866), -4(0.985-0.866) ] = [ 4×(-1.046) + 0.238, -0.476] = [ -4.184 + 0.238, -0.476] = [ -3.946, -0.476 ] 4.2 更新Hessian近似（正割方程） s₀ = x₁ - x₀ = [ 0.485, -0.067 ] y₀ = ∇f(x₁) - ∇f(x₀) = [ 10.554, -2.476 ] 使用BFGS公式：B₁ = B₀ + (y₀y₀ᵀ)/(y₀ᵀs₀) - (B₀s₀s₀ᵀB₀)/(s₀ᵀB₀s₀) 4.3 继续迭代直至收敛 经过约8次迭代后，算法收敛到最优解x* ≈ (0.907, 0.423)，f(x* ) ≈ 0.097 算法特点 正割近似避免了精确Hessian计算 信赖域框架保证全局收敛 反射技术处理边界约束 适用于中大规模问题