高斯-拉盖尔求积公式在带端点奇异性的半无穷积分中的变量替换技巧

字数 2354 2025-11-13 14:40:12

高斯-拉盖尔求积公式在带端点奇异性的半无穷积分中的变量替换技巧

题目描述
计算半无穷积分

\[I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} f(x) \, dx, \]

其中 \(f(x)\) 是光滑函数，但被积函数在 \(x = 0\) 处具有 \(x^{-1/4}\) 的奇异性。高斯-拉盖尔求积公式通常用于积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx\)，但此处的奇异性会导致直接应用时精度下降。需通过变量替换消除奇异性，再结合高斯-拉盖尔求积公式高效计算。

解题过程

1. 问题分析与难点

积分区间为 \([0, \infty)\)，被积函数包含权重 \(e^{-x}\) 和奇异性 \(x^{-1/4}\)。
高斯-拉盖尔求积公式的节点和权重针对积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx\) 设计，但要求 \(g(x)\) 光滑。若直接令 \(g(x) = x^{-1/4} f(x)\)，则 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 处奇异，导致求积公式收敛缓慢。
目标：通过变量替换将奇异性消除，使新被积函数光滑。

2. 变量替换设计
选择替换 \(x = t^{4}\)，使得：

\(dx = 4t^{3} \, dt\)，
当 \(x \in [0, \infty)\) 时，\(t \in [0, \infty)\)。
代入原积分：

\[I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t^{4}}}{t} f(t^{4}) \cdot 4t^{3} \, dt = 4 \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-t^{4}} f(t^{4}) \, dt. \]

此时，新被积函数 \(h(t) = 4t^{2} e^{-t^{4}} f(t^{4})\) 在 \(t=0\) 处行为分析：

\(t^{2}\) 项抵消了原 \(x^{-1/4}\) 奇异性，
\(e^{-t^{4}}\) 在 \(t=0\) 处值为 1，
因此 \(h(t)\) 在 \(t=0\) 处光滑（若 \(f\) 光滑）。

3. 应用高斯-拉盖尔求积公式
将积分写为标准形式：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \left[ 4t^{2} e^{-t^{4} + t} f(t^{4}) \right] dt. \]

定义 \(g(t) = 4t^{2} e^{-t^{4} + t} f(t^{4})\)，则：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt. \]

高斯-拉盖尔求积公式的 \(n\) 点公式为：

\[\int_{0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(t_i), \]

其中 \(t_i\) 是拉盖尔多项式的根，\(w_i\) 是对应权重。
代入 \(g(t)\) 的表达式：

\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot 4t_i^{2} e^{-t_i^{4} + t_i} f(t_i^{4}). \]

4. 误差与收敛性分析

原积分中奇异性通过变量替换被消除，新被积函数 \(g(t)\) 光滑，因此高斯-拉盖尔求积公式具有指数收敛性。
若 \(f(x)\) 是解析函数，则 \(g(t)\) 在 \(t \in [0, \infty)\) 上光滑，误差以 \(O(e^{-c n})\) 速率下降（\(c > 0\) 为常数）。
实际计算时，需选择适当的节点数 \(n\)，使得 \(g(t)\) 在节点区间内充分光滑。

5. 计算示例
设 \(f(x) = \cos(x)\)，计算：

\[I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} \cos(x) \, dx. \]

步骤：

变量替换 \(x = t^{4}\)，得：

\[ I = 4 \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-t^{4}} \cos(t^{4}) \, dt. \]

定义 \(g(t) = 4t^{2} e^{-t^{4} + t} \cos(t^{4})\)。
选择 \(n=10\) 的高斯-拉盖尔节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)（查表或数值计算）。
计算近似值：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{10} w_i \cdot 4t_i^{2} e^{-t_i^{4} + t_i} \cos(t_i^{4}). \]

与精确值（若可求）或高精度数值解对比，验证收敛性。

总结
通过变量替换 \(x = t^{4}\)，将端点奇异性转化为光滑函数，使高斯-拉盖尔求积公式有效应用。此方法适用于半无穷积分中类似 \(x^{-\alpha} \, (0<\alpha<1)\) 的奇异性，关键在于选择替换函数 \(x = \phi(t)\)，使得 \(\phi'(t)\) 抵消奇异性。

高斯-拉盖尔求积公式在带端点奇异性的半无穷积分中的变量替换技巧题目描述计算半无穷积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} f(x) \, dx, \] 其中 \( f(x) \) 是光滑函数，但被积函数在 \( x = 0 \) 处具有 \( x^{-1/4} \) 的奇异性。高斯-拉盖尔求积公式通常用于积分 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \)，但此处的奇异性会导致直接应用时精度下降。需通过变量替换消除奇异性，再结合高斯-拉盖尔求积公式高效计算。解题过程 1. 问题分析与难点积分区间为 \( [ 0, \infty) \)，被积函数包含权重 \( e^{-x} \) 和奇异性 \( x^{-1/4} \)。高斯-拉盖尔求积公式的节点和权重针对积分 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \) 设计，但要求 \( g(x) \) 光滑。若直接令 \( g(x) = x^{-1/4} f(x) \)，则 \( g(x) \) 在 \( x=0 \) 处奇异，导致求积公式收敛缓慢。目标：通过变量替换将奇异性消除，使新被积函数光滑。 2. 变量替换设计选择替换 \( x = t^{4} \)，使得： \( dx = 4t^{3} \, dt \)，当 \( x \in [ 0, \infty) \) 时，\( t \in [ 0, \infty) \)。代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} f(x) \, dx = \int_ {0}^{\infty} \frac{e^{-t^{4}}}{t} f(t^{4}) \cdot 4t^{3} \, dt = 4 \int_ {0}^{\infty} t^{2} e^{-t^{4}} f(t^{4}) \, dt. \] 此时，新被积函数 \( h(t) = 4t^{2} e^{-t^{4}} f(t^{4}) \) 在 \( t=0 \) 处行为分析： \( t^{2} \) 项抵消了原 \( x^{-1/4} \) 奇异性， \( e^{-t^{4}} \) 在 \( t=0 \) 处值为 1，因此 \( h(t) \) 在 \( t=0 \) 处光滑（若 \( f \) 光滑）。 3. 应用高斯-拉盖尔求积公式将积分写为标准形式： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-t} \left[ 4t^{2} e^{-t^{4} + t} f(t^{4}) \right ] dt. \] 定义 \( g(t) = 4t^{2} e^{-t^{4} + t} f(t^{4}) \)，则： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt. \] 高斯-拉盖尔求积公式的 \( n \) 点公式为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(t_ i), \] 其中 \( t_ i \) 是拉盖尔多项式的根，\( w_ i \) 是对应权重。代入 \( g(t) \) 的表达式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot 4t_ i^{2} e^{-t_ i^{4} + t_ i} f(t_ i^{4}). \] 4. 误差与收敛性分析原积分中奇异性通过变量替换被消除，新被积函数 \( g(t) \) 光滑，因此高斯-拉盖尔求积公式具有指数收敛性。若 \( f(x) \) 是解析函数，则 \( g(t) \) 在 \( t \in [ 0, \infty) \) 上光滑，误差以 \( O(e^{-c n}) \) 速率下降（\( c > 0 \) 为常数）。实际计算时，需选择适当的节点数 \( n \)，使得 \( g(t) \) 在节点区间内充分光滑。 5. 计算示例设 \( f(x) = \cos(x) \)，计算： \[ I = \int_ {0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^{1/4}} \cos(x) \, dx. \] 步骤：变量替换 \( x = t^{4} \)，得： \[ I = 4 \int_ {0}^{\infty} t^{2} e^{-t^{4}} \cos(t^{4}) \, dt. \] 定义 \( g(t) = 4t^{2} e^{-t^{4} + t} \cos(t^{4}) \)。选择 \( n=10 \) 的高斯-拉盖尔节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \)（查表或数值计算）。计算近似值： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{10} w_ i \cdot 4t_ i^{2} e^{-t_ i^{4} + t_ i} \cos(t_ i^{4}). \] 与精确值（若可求）或高精度数值解对比，验证收敛性。总结通过变量替换 \( x = t^{4} \)，将端点奇异性转化为光滑函数，使高斯-拉盖尔求积公式有效应用。此方法适用于半无穷积分中类似 \( x^{-\alpha} \, (0<\alpha <1) \) 的奇异性，关键在于选择替换函数 \( x = \phi(t) \)，使得 \( \phi'(t) \) 抵消奇异性。