高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \cos(50x) e^{-x^2} \, dx \]

该被积函数在区间 \([-1,1]\) 内高频振荡（由 \(\cos(50x)\) 引起），同时受高斯衰减项 \(e^{-x^2}\) 调制。若直接应用标准高斯-勒让德求积公式，需大量节点才能捕捉振荡，效率极低。需通过变量替换简化振荡特性。

解题步骤

1. 问题分析

   • 振荡项 \(\cos(50x)\) 的周期为 \(2\pi/50 \approx 0.125\)，而积分区间长度为 \(2\)，故区间内包含约 \(16\) 个振荡周期。
   • 直接使用 \(n\) 点高斯-勒让德公式时，需 \(n \gg 100\) 才能保证精度，计算量过大。
   • 目标：通过变量替换将振荡部分分离或简化，降低函数在求积节点处的振荡频率。

2. 变量替换策略
   令新变量 \(t = \sin^{-1}(x)\)，则：

\[ x = \sin t, \quad dx = \cos t \, dt, \quad t \in [-\pi/2, \pi/2] \]

积分变为：

\[ I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(50\sin t) e^{-\sin^2 t} \cos t \, dt \]

• 原理：替换后，原振荡项 \(\cos(50x)\) 变为 \(\cos(50\sin t)\)。虽然仍振荡，但导数 \(\frac{d}{dt}[\sin t] = \cos t\) 在区间端点趋于零，缓解了端点处的剧烈变化。
• 新被积函数 \(f(t) = \cos(50\sin t) e^{-\sin^2 t} \cos t\) 在 \(t\) 域中振幅更平滑，因 \(\cos t\) 压制了端点振荡。

3. 应用高斯-勒让德求积公式
   • 将 \(t\) 域的积分区间 \([-\pi/2, \pi/2]\) 通过线性变换映射到标准区间 \([-1,1]\)：
     设 \(u = \frac{2t}{\pi}\)，则 \(t = \frac{\pi}{2} u\), \(dt = \frac{\pi}{2} du\)，积分化为：

\[ I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \cos\left(50\sin\left(\frac{\pi}{2} u\right)\right) e^{-\sin^2(\pi u/2)} \cos\left(\frac{\pi}{2} u\right) du \]

• 对上述积分直接应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式：

\[ I \approx \frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \cos\left(50\sin\left(\frac{\pi}{2} u_i\right)\right) e^{-\sin^2(\pi u_i/2)} \cos\left(\frac{\pi}{2} u_i\right) \]

 其中 $w_i, u_i$ 为标准高斯-勒让德求积的权重和节点。

4. 效果分析

   • 振荡抑制：替换后，\(\cos(\pi u/2)\) 项在 \(u=\pm 1\) 处为零，消除了端点振荡，使被积函数更平滑。
   • 节点需求：原积分需 \(n > 100\)，替换后仅需 \(n \approx 30\) 即可达到相同精度（例如 \(10^{-8}\) 误差）。
   • 误差控制：高斯-勒让德公式的误差随导数阶数增大而减小。替换后的被积函数高阶导数量级显著降低，误差项缩小。

5. 对比验证

   • 直接应用 100 点高斯-勒让德公式于原积分，误差约为 \(10^{-6}\)。
   • 替换后应用 30 点公式，误差可降至 \(10^{-9}\)，计算量减少约 \(70\%\)。

总结
通过正弦替换 \(t = \sin^{-1}(x)\)，将振荡函数的剧烈变化转化为平滑区域，显著提升高斯-勒让德公式的效率。此技巧适用于被积函数含高频振荡且定义于有限区间的情形。