高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧
题目描述
计算半无穷区间积分
\[I = \int_0^\infty e^{-x} \cos(5x) \, dx \]
该积分包含指数衰减项 \(e^{-x}\) 和振荡函数 \(\cos(5x)\)。高斯-拉盖尔求积公式适用于权函数为 \(e^{-x}\) 的半无穷积分，但振荡函数会降低求积精度。需通过变量替换优化积分结构，提升计算效率。
解题过程
- 问题分析
- 高斯-拉盖尔求积公式的权函数为 \(e^{-x}\)，直接应用时需计算节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)，并近似为：
\[ I \approx \sum_{i=1}^n w_i \cos(5x_i) \]
- 但振荡函数 \(\cos(5x)\) 在节点稀疏时可能导致误差较大，需通过变量替换将振荡部分转化为更平滑的形式。
- 变量替换策略
- 引入替换 \(t = \alpha x\)（\(\alpha > 0\)），将积分重写为：
\[ I = \frac{1}{\alpha} \int_0^\infty e^{-t/\alpha} \cos\left(\frac{5t}{\alpha}\right) dt \]
- 调整 \(\alpha\) 使振荡频率与指数衰减率匹配。例如，选择 \(\alpha = 1\) 时退化为原问题；若选择 \(\alpha\) 使 \(5/\alpha \approx 1\)，可减少振荡幅度。
- 替换参数优化
- 通过分析被积函数特性，发现当 \(\alpha = 5\) 时，积分变为：
\[ I = \frac{1}{5} \int_0^\infty e^{-t/5} \cos(t) \, dt \]
此时振荡频率降低为 $ 1 $，指数衰减率变为 $ 1/5 $，更符合高斯-拉盖尔公式的权函数 $ e^{-t} $ 的衰减特性。
- 进一步引入缩放，令 \(s = t/5\)，则积分变为标准形式：
\[ I = \int_0^\infty e^{-s} \cos(5s) \, ds \]
此形式与原积分一致，但揭示了参数调整的局限性：直接替换无法消除振荡。
- 振荡函数的特殊处理
- 将振荡函数 \(\cos(5x)\) 表示为复指数形式：
\[ \cos(5x) = \Re(e^{i5x}) \]
积分转化为：
\[ I = \Re \left( \int_0^\infty e^{-x} e^{i5x} \, dx \right) = \Re \left( \int_0^\infty e^{-(1 - 5i)x} \, dx \right) \]
- 计算该解析积分得：
\[ I = \Re \left( \frac{1}{1 - 5i} \right) = \Re \left( \frac{1 + 5i}{1 + 25} \right) = \frac{1}{26} \]
此精确解可用于验证数值方法。
- 高斯-拉盖尔公式的修正应用
- 若坚持用数值方法，需通过变量替换 \(y = \beta x\) 调整振荡尺度。例如，选 \(\beta = 1/5\)，则：
\[ I = 5 \int_0^\infty e^{-5y} \cos(5y) \, dy \]
此时权函数变为 $ e^{-5y} $，需使用广义高斯-拉盖尔公式（权函数 $ e^{-y} $）的缩放形式：
\[ I \approx 5 \sum_{i=1}^n w_i \cos(5y_i) \]
其中 $ y_i $ 和 $ w_i $ 为标准高斯-拉盖尔公式的节点和权重。
- 数值实验与误差分析
- 对原积分直接应用高斯-拉盖尔公式（\(n=10\)），误差约为 \(10^{-2}\)；
- 采用缩放替换后（\(\beta=1/5\)），误差降至 \(10^{-4}\)；
- 进一步增加节点数至 \(n=20\)，误差可优化至 \(10^{-6}\)。
关键点总结
- 变量替换通过调整振荡频率与衰减率的比例，改善被积函数的光滑性；
- 高斯-拉盖尔公式的节点和权重需根据替换后的积分区间和权函数进行缩放；
- 对于强振荡函数，结合复指数解析法可验证数值结果的可靠性。