高斯-切比雪夫求积公式的构造与多项式精度分析 我将为您讲解高斯-切比雪夫求积公式的构造过程及其多项式精度特性。这个求积公式专门用于计算形如∫[ -1,1 ] f(x)/√(1-x²) dx的带权积分。 问题描述 我们需要构造一个数值积分公式来近似计算积分： I = ∫[ -1,1] [ f(x)/√(1-x²) ] dx 其中权函数w(x) = 1/√(1-x²)是切比雪夫权函数。目标是找到节点xₖ和权重wₖ，使得求积公式具有最高的代数精度。 解题过程 第一步：理解切比雪夫多项式的基本性质 切比雪夫多项式Tₙ(x)定义为： Tₙ(x) = cos(n·arccos(x)), x ∈ [ -1,1 ] 重要性质： 首项系数：Tₙ(x)的首项系数是2ⁿ⁻¹ 正交性：∫[ -1,1] [ Tₙ(x)Tₘ(x)/√(1-x²) ] dx = 0, 当m ≠ n π/2, 当m = n ≠ 0 π, 当m = n = 0 第二步：确定高斯点的位置 对于n点高斯-切比雪夫求积公式，节点是n次切比雪夫多项式Tₙ(x)的零点。 Tₙ(x)的零点为： xₖ = cos((2k-1)π/(2n)), k = 1,2,...,n 这些节点在区间[ -1,1 ]上不均匀分布，在区间端点处更加密集。 第三步：计算求积公式的权重 高斯-切比雪夫求积公式的一个优美特性是所有权重都相等： wₖ = π/n, k = 1,2,...,n 推导过程： 根据高斯求积理论，权重由下式给出： wₖ = ∫[ -1,1] [ lₖ(x)/√(1-x²) ] dx 其中lₖ(x)是拉格朗日基函数。通过切比雪夫多项式的性质，可以证明所有权重相等。 第四步：建立完整的求积公式 n点高斯-切比雪夫求积公式为： ∫[ -1,1] [ f(x)/√(1-x²)] dx ≈ (π/n) ∑[ k=1 to n ] f(xₖ) 其中xₖ = cos((2k-1)π/(2n)) 第五步：分析多项式精度 高斯-切比雪夫求积公式具有2n-1次代数精度，这意味着： 对于次数≤2n-1的多项式，求积公式给出精确结果 对于次数≥2n的多项式，求积公式存在误差 证明思路： 任何次数≤2n-1的多项式p(x)可以表示为： p(x) = q(x)Tₙ(x) + r(x) 其中deg(q) ≤ n-1, deg(r) ≤ n-1 由于Tₙ(x)与所有次数 <n的多项式在切比雪夫权函数下正交，因此： ∫[ -1,1] [ p(x)/√(1-x²)] dx = ∫[ -1,1] [ r(x)/√(1-x²) ] dx 求积公式对r(x)精确，因为r(x)是次数≤n-1的多项式 第六步：误差分析 高斯-切比雪夫求积公式的误差为： E = [ π/(2²ⁿ⁻¹(2n)!) ] f⁽²ⁿ⁾(ξ), ξ ∈ (-1,1) 当被积函数f(x)足够光滑时，误差随n增大而指数衰减。 应用示例 计算积分：∫[ -1,1] [ x⁴/√(1-x²) ] dx 使用3点公式： 节点：x₁ = cos(π/6) = √3/2, x₂ = cos(π/2) = 0, x₃ = cos(5π/6) = -√3/2 权重：w₁ = w₂ = w₃ = π/3 近似值：(π/3)[ (√3/2)⁴ + 0⁴ + (-√3/2)⁴] = (π/3)[ 9/16 + 0 + 9/16 ] = 3π/8 精确值也是3π/8，验证了公式的精度。 这个求积公式在计算傅里叶系数、奇异积分等问题中有着重要应用。