非线性规划中的广义简约梯度法(GRG)进阶题

我将为您详细讲解广义简约梯度法(GRG)在非线性规划中的应用，这是一个处理约束优化问题的重要算法。

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)²
约束条件：
h(x) = x₁²/4 + x₂² - 1 = 0
g(x) = x₁ - 2x₂ + 1 ≥ 0
其中 x = (x₁, x₂) ∈ R²

解题过程

第一步：问题分析与变量划分
广义简约梯度法的核心思想是将变量划分为基本变量和非基本变量。对于等式约束h(x)=0，我们需要确定哪些变量作为基本变量，哪些作为非基本变量。

• 等式约束数量：m = 1
• 变量总数：n = 2
• 非基本变量数量：n - m = 1

我们选择x₁作为基本变量，x₂作为非基本变量。这样可以通过等式约束h(x)=0用x₂表示x₁。

第二步：处理等式约束
从等式约束 h(x) = x₁²/4 + x₂² - 1 = 0 中，我们可以解出：
x₁ = ±2√(1 - x₂²)

由于x₁需要满足g(x) ≥ 0，我们选择正号以保证可行性。因此：
x₁ = 2√(1 - x₂²)

第三步：计算简约梯度
广义简约梯度法的关键是将目标函数f(x)用非基本变量表示：
f(x₂) = [2√(1 - x₂²) - 2]² + (x₂ - 1)²

简约梯度是f对非基本变量x₂的导数：
∇f(x₂) = ∂f/∂x₂ = 2[2√(1 - x₂²) - 2] × [-2x₂/√(1 - x₂²)] + 2(x₂ - 1)

化简得：
∇f(x₂) = -8x₂[1 - 1/√(1 - x₂²)] + 2(x₂ - 1)

第四步：可行性保持与线搜索
在每次迭代中，我们需要：

1. 计算当前点的简约梯度
2. 确定搜索方向：d = -∇f(x₂)（最速下降方向）
3. 进行线搜索，同时保持等式约束满足

线搜索过程：
x₂^(k+1) = x₂^k + αd

然后通过等式约束计算对应的x₁：
x₁^(k+1) = 2√[1 - (x₂^(k+1))²]

第五步：处理不等式约束
对于不等式约束g(x) = x₁ - 2x₂ + 1 ≥ 0，我们需要检查：

• 如果当前点满足g(x) ≥ 0，继续正常迭代
• 如果g(x) < 0，需要将边界约束激活，将其视为等式约束处理

第六步：完整算法步骤

1. 初始化：选择初始可行点，如x₀ = (2, 0)，满足h(x₀)=0且g(x₀)≥0
2. 变量划分：确定基本变量(x₁)和非基本变量(x₂)
3. 迭代过程：
   a. 计算简约梯度∇f(x₂)
   b. 确定搜索方向d = -∇f(x₂)
   c. 进行线搜索找到步长α，使f(x)充分下降
   d. 更新x₂：x₂^(k+1) = x₂^k + αd
   e. 通过等式约束计算x₁^(k+1) = 2√[1 - (x₂^(k+1))²]
   f. 检查不等式约束，必要时调整
4. 收敛判断：当‖∇f(x₂)‖ < ε时停止

第七步：具体迭代示例
从初始点x₀ = (2, 0)开始：

• 计算简约梯度：∇f(0) = -8×0×[1 - 1/1] + 2(0 - 1) = -2
• 搜索方向：d = 2
• 线搜索得到步长α
• 更新x₂，然后计算对应的x₁
• 重复直到收敛到最优解

第八步：收敛性分析
广义简约梯度法在适当条件下具有超线性收敛性。关键保证包括：

• 约束规范条件满足
• 海森矩阵正定
• 步长选择满足Wolfe条件

最终，算法将收敛到满足KKT条件的最优点。