非线性规划中的广义简约梯度法(GRG)进阶题 我将为您详细讲解广义简约梯度法(GRG)在非线性规划中的应用，这是一个处理约束优化问题的重要算法。 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² 约束条件： h(x) = x₁²/4 + x₂² - 1 = 0 g(x) = x₁ - 2x₂ + 1 ≥ 0 其中 x = (x₁, x₂) ∈ R² 解题过程 第一步：问题分析与变量划分 广义简约梯度法的核心思想是将变量划分为基本变量和非基本变量。对于等式约束h(x)=0，我们需要确定哪些变量作为基本变量，哪些作为非基本变量。 等式约束数量：m = 1 变量总数：n = 2 非基本变量数量：n - m = 1 我们选择x₁作为基本变量，x₂作为非基本变量。这样可以通过等式约束h(x)=0用x₂表示x₁。 第二步：处理等式约束 从等式约束 h(x) = x₁²/4 + x₂² - 1 = 0 中，我们可以解出： x₁ = ±2√(1 - x₂²) 由于x₁需要满足g(x) ≥ 0，我们选择正号以保证可行性。因此： x₁ = 2√(1 - x₂²) 第三步：计算简约梯度 广义简约梯度法的关键是将目标函数f(x)用非基本变量表示： f(x₂) = [ 2√(1 - x₂²) - 2 ]² + (x₂ - 1)² 简约梯度是f对非基本变量x₂的导数： ∇f(x₂) = ∂f/∂x₂ = 2[ 2√(1 - x₂²) - 2] × [ -2x₂/√(1 - x₂²) ] + 2(x₂ - 1) 化简得： ∇f(x₂) = -8x₂[ 1 - 1/√(1 - x₂²) ] + 2(x₂ - 1) 第四步：可行性保持与线搜索 在每次迭代中，我们需要： 计算当前点的简约梯度 确定搜索方向：d = -∇f(x₂)（最速下降方向） 进行线搜索，同时保持等式约束满足 线搜索过程： x₂^(k+1) = x₂^k + αd 然后通过等式约束计算对应的x₁： x₁^(k+1) = 2√[ 1 - (x₂^(k+1))² ] 第五步：处理不等式约束 对于不等式约束g(x) = x₁ - 2x₂ + 1 ≥ 0，我们需要检查： 如果当前点满足g(x) ≥ 0，继续正常迭代 如果g(x) < 0，需要将边界约束激活，将其视为等式约束处理 第六步：完整算法步骤 初始化：选择初始可行点，如x₀ = (2, 0)，满足h(x₀)=0且g(x₀)≥0 变量划分：确定基本变量(x₁)和非基本变量(x₂) 迭代过程： a. 计算简约梯度∇f(x₂) b. 确定搜索方向d = -∇f(x₂) c. 进行线搜索找到步长α，使f(x)充分下降 d. 更新x₂：x₂^(k+1) = x₂^k + αd e. 通过等式约束计算x₁^(k+1) = 2√[ 1 - (x₂^(k+1))² ] f. 检查不等式约束，必要时调整 收敛判断：当‖∇f(x₂)‖ < ε时停止 第七步：具体迭代示例 从初始点x₀ = (2, 0)开始： 计算简约梯度：∇f(0) = -8×0×[ 1 - 1/1 ] + 2(0 - 1) = -2 搜索方向：d = 2 线搜索得到步长α 更新x₂，然后计算对应的x₁ 重复直到收敛到最优解 第八步：收敛性分析 广义简约梯度法在适当条件下具有超线性收敛性。关键保证包括： 约束规范条件满足 海森矩阵正定 步长选择满足Wolfe条件 最终，算法将收敛到满足KKT条件的最优点。