期望最大化（EM）算法在伯努利分布混合模型中的参数估计过程 我将为您详细讲解EM算法在伯努利分布混合模型中的应用，这是一个处理二元数据聚类的经典方法。 问题描述 假设我们有一组二元数据点（每个特征取值为0或1），这些数据来自K个不同的伯努利分布组件。我们的目标是： 估计每个伯努利分布组件的参数（成功概率） 估计每个数据点属于各个组件的概率（软分配） 找到最能解释观测数据的混合模型参数 解题过程详解 步骤1：模型设定 伯努利混合模型假设观测数据由K个伯努利分布以一定比例混合而成： 观测数据：$X = \{x_ 1, x_ 2, ..., x_ N\}$，其中$x_ i \in \{0,1\}^D$ 隐变量：$Z = \{z_ 1, z_ 2, ..., z_ N\}$，其中$z_ i$表示数据点i的组件归属 混合系数：$\pi = \{\pi_ 1, \pi_ 2, ..., \pi_ K\}$，$\sum_ {k=1}^K \pi_ k = 1$ 伯努利参数：$\theta = \{\theta_ 1, \theta_ 2, ..., \theta_ K\}$，其中$\theta_ k \in [ 0,1 ]^D$ 步骤2：完全数据似然函数 对于单个数据点$(x_ i, z_ i)$，其似然为： $$P(x_ i, z_ i | \theta, \pi) = \prod_ {k=1}^K [ \pi_ k P(x_ i | \theta_ k)]^{z_ {ik}}$$ 其中$z_ {ik} = 1$当且仅当$x_ i$属于第k个组件，否则为0。 步骤3：E步（期望步） 在E步中，我们计算隐变量的后验期望： $$\gamma_ {ik} = E[ z_ {ik} | x_ i, \theta, \pi] = P(z_ {ik} = 1 | x_ i, \theta, \pi)$$ 根据贝叶斯定理： $$\gamma_ {ik} = \frac{\pi_ k P(x_ i | \theta_ k)}{\sum_ {j=1}^K \pi_ j P(x_ i | \theta_ j)}$$ 其中伯努利分布的概率为： $$P(x_ i | \theta_ k) = \prod_ {d=1}^D \theta_ {kd}^{x_ {id}}(1-\theta_ {kd})^{1-x_ {id}}$$ 步骤4：M步（最大化步） 在M步中，我们最大化完全数据对数似然的期望： 对于混合系数： $$\pi_ k^{(new)} = \frac{\sum_ {i=1}^N \gamma_ {ik}}{N}$$ 对于伯努利参数： $$\theta_ {kd}^{(new)} = \frac{\sum_ {i=1}^N \gamma_ {ik} x_ {id}}{\sum_ {i=1}^N \gamma_ {ik}}$$ 步骤5：算法流程 初始化参数$\theta^{(0)}$和$\pi^{(0)}$ 重复直到收敛： E步：计算所有$\gamma_ {ik}$（责任值） M步：更新$\pi$和$\theta$ 计算对数似然：$L = \sum_ {i=1}^N \log \sum_ {k=1}^K \pi_ k P(x_ i | \theta_ k)$ 输出最终参数估计 步骤6：收敛性保证 EM算法保证每次迭代后对数似然不会减少，最终会收敛到局部极大值点。责任值$\gamma_ {ik}$给出了每个数据点属于各个组件的软分配概率。 这个算法特别适合处理二元数据的聚类问题，如文档的单词出现/不出现分析、用户的购买行为分析等场景。